1. Cho đa thức f (x) thỏa mãn ( x^2 – 4x + 3) .f ( x + 1 ) = (x – 2).f ( x – 1 ). Chứng tỏ đa thức f (x) có ít nhất 3 nghiệm.
1. Cho đa thức f (x) thỏa mãn ( x^2 – 4x + 3) .f ( x + 1 ) = (x – 2).f ( x – 1 ). Chứng tỏ đa thức f (x) có ít nhất 3 nghiệm.
By Jade
`(x^2 – 4x +3) f(x+1) = (x-2) f(x-1) (1)`
+) Thay `x= 2` vào `(1)` ta được:
`(2^2 – 4.2 + 3) . f(2+1) = (2-2) . f(2-1)`
`=>( 4 – 8+3) f(3) = 0 . f(1)`
`=> -1. f(3) =0`
`=> f(3)=0`
`=> x=3` là 1 nghiệm của `f(x)`
+) Thay `x= 1` vào `(1)` ta được:
`(1^2 – 4.1 +3) . f(1+1)= (1-2) . f(1-1)`
`=> ( 1-4 +3) . f(2) = -1 . f(0)`
`=> 0. f(2) = -1 . f(0)`
`=> 0 = -1. f(0)`
`=> f(0) =0`
`=> x=0` là 1 nghiệm của `f(x)`
+) Thay `x= 3` vào `(1)` ta được:
`(3^2 – 4.3 +3) . f(3+1) = (3-2). f(3-1)`
`=> ( 9 -12 +3) . f(4) =1 .f(2)`
`=> 0 . f(4) = 1. f(2)`
`=> 0 = 1. f(2)`
`=> f(2) =0`
`=> x=2` là 1 nghiệm của `f(x)`
Vậy `f(x)` có ít nhất 3 nghiệm là `x =2;x =0 ; x = 3`
`(x^2 – 4x + 3). f(x + 1) = (x – 2). f(x – 1)`
`+)` Với `x = 2`, biểu thức trở thành:
`(2^2 – 4. 2 + 3). f(2 + 1) = (2 – 2). f(2 – 1)`
`⇒ (4 – 8 + 3). f(3) = 0. f(1)`
`⇒ (-1). f(3) = 0`
`⇒ f(3) = 0`
`⇒ x = 3` là một nghiệm của `f(x) (1)`
`+)` Với `x = 1`, biểu thức trở thành:
`(1^2 – 4. 1 + 3). f(1 + 1) = (1 – 2). f(1 – 1)`
`⇒ (1 – 4 + 3). f(2) = (-1). f(0)`
`⇒ 0. f(2) = (-1). f(0)`
`⇒ 0 = (-1). f(0)`
`⇒ f(0) = 0`
`⇒ x = 0` là một nghiệm của `f(x) (2)`
`+)` Với `x = 3`, biểu thức trở thành:
`(3^2 – 4. 3 + 3). f(3 + 1) = (3 – 2). f(3 – 1)`
`⇒ (9 – 12 + 3). f(4) = 1. f(2)`
`⇒ 0. f(4) = f(2)`
`⇒ 0 = f(2)`
`⇒ x = 2` là một nghiệm của `f(x) (3)`
Từ `(1), (2)` và `(3) ⇒ f(x)` có ít nhất `3` nghiệm đó là `x = 0; x = 2` và `x = 3`
`⇒ đpcm`