1. Cho p là STN lớn hơn 3 và 5p+1 cũng là STN . Chứng minh 7p+1 là hợp số 2. Tìm tất cả các STN p sao cho p^2 +14 là STN . Tìm STN p sao cho p+2 và p+

1.

Vì p là số nguyên tố>3⇒p có 2 dạng : 3k + 1 và 3k + 2(k∈N)

+)Nếu p=3k+1⇒5p+1=5.(3k+1)+1=15k+6⋮3

Suy ra 5p+1 có ít nhất 3 ước là 5p+1,1 và 3⇒5p+1 là hợp số.

+) Nếu p=3k+2⇒7p+1=7.(3k+2)+1=21k+15⋮3

Suy ra 7p+1 là hợp số.

2.

$\text{Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 là hợp số (loại)}$

$\text{Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 4}$

$\text{= 3 + 4 = 7 là các số nguyên tố (thỏa mãn).}$

$\text{Với p > 3: p là số nguyên tố nên}$

$\text{suy ra: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ N*).}$

$\text{ p = 3k + 1: Ta có: p + 2 = 3k + 1 + 2}$

$\text{= 3k + 3 = 3.(k + 1) ⋮ 3 là hợp số (loại)}$

$\text{p = 3k + 2: Ta có: p + 4 = 3k + 2 + 4}$

$\text{= 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3 là hợp số (loại).}$

$\text{Với p > 3 không có giá trị nào}$

$\text{thỏa mãn yêu cầu của bài toán.}$

$\text{KL: p = 3 là thỏa mãn yêu cầu bài toán.}$

3.

$\text{Ta có: p=42k+r=2.3.7.k+r}$

$\text{Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2;3;7.}$

$\text{Các hợp số nhỏ hơn 42 không chia hết cho 2 {9;15;21;25;27;33;35;39}}$

$\text{Loại bỏ các số chia hết co 3 và 7 ta còn có số 25}$

$⇒ r = 25$