1. Chứng minh: `a^2`+`b^2`+`c^2` ≥ 2(a+b+c) – 3
2. Chứng minh: `a^2`+`b^2`+`c^2` ≥ a+b+b+c+a+c
Làm ơn không spam và làm bài chính xác giúp mình với ạ :((
1. Chứng minh: `a^2`+`b^2`+`c^2` ≥ 2(a+b+c) – 3
2. Chứng minh: `a^2`+`b^2`+`c^2` ≥ a+b+b+c+a+c
Làm ơn không spam và làm bài chính xác giúp mình với ạ :((
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Câu `1`
`a^2+b^2+c^2>=2(a+b+c)-3`
`<=>a^2+b^2+c^2-2(a+b+c)+3>=0 `
`<=>(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)>=0`
`<=>(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b,c`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1`
Câu `2`
`a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca`
`=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca`
`=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca>=0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b,c`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
1:
`(a-1)^2=a^2-2a+1 ≥ 0 ⇒a^2 ≥ 2a-1`
Tương tự:
`b^2 ≥ 2b-1`
`c^2 ≥ 2c-1`
`⇒a^2+b^2+c^2 ≥ 2a+2b+2c-3`
2:
`a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ca`
`⇔2a^2+2b^2+2c^2 ≥ 2ab+2bc+2ca`
`⇔(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2) ≥ 0`
`⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0` (luôn đúng với mọi a,b,c)
Vậy ta đpcm