1/ Chứng minh rằng: ∀ n ∈ Z( n khác 0, n khác -1) thì Q = $\frac{1}{1.2}$ + $\frac{1}{2.3}$ + $\frac{1}{3.4}$ +…+ $\frac{1}{n.(n+1)}$ không phải là số nguyên
1/ Chứng minh rằng: ∀ n ∈ Z( n khác 0, n khác -1) thì Q = $\frac{1}{1.2}$ + $\frac{1}{2.3}$ + $\frac{1}{3.4}$ +…+ $\frac{1}{n.(n+1)}$ không phải là số nguyên
$Q=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+…+\dfrac{1}{n(n+1)}$
$Q=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+…+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
$Q=1-\dfrac{1}{n+1}$
Nếu $n=0,n$
$⇒Q∈Z$ ⇒ loại
Nếu $n∈Z$ ($n+1\neq0$)
$⇒Q∉Z$
Vậy $Q$ không là một số nguyên $∀n∈Z$
Ta có:
`Q = 1/{1.2} + 1/{2.3} + 1/{3.4} + …. + 1/{n.(n+1)}` (`n \ne0;-1`)
`⇔ Q = 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ….. + 1/{n} – 1/{n+1}`
`⇔ Q = 1 – 1/{n+1}`
Vì : `1/{n+1} ∉ Z` `∀` `n` `∈` `Z` (`n \ne 0`)
`⇔ Q = 1- 1/{n+1} ∉ Z`
Hay `Q` không phải là một số nguyên ($đpcm$)