1) chứng tỏ
a) ab có dấu gạch trên đầu +ba có dấu gạch trên đầu chia hết cho 11
b) ab có dấu gạch trên đầu -ba có dấu gạch trên đầu chia hết cho 9
2) chứng tỏ
a) nếu ( ab có dấu gạch trên đầu + cd có dấu gạch trên đầu ) chia hết cho 99 thì abcd chia hết cho 99
b) nếu ( abc có dấu gạch trên đầu + def có dấu gạch trên đầu ) chia hết cho 37 thì abcdef chia hết cho 37
3) chứng tỏ
a) A = 1+ 3 + 3 mũ 2 + …… + 3 mũ 1998 + 3 mũ 1999 + 3 mũ 2000 chia hết cho 13
b) B = 1 + 4 + 4 mũ 2 + …… + 4 mũ 2010 + 2 mũ 2011 + 2 mũ 2012 chia hết cho 21
\[\begin{array}{l}
1)\,\,\,Chung\,\,minh:\\
a)\,\,\,\overline {ab} + \overline {ba} \,\,\, \vdots \,\,11\\
Ta\,\,co:\,\,\,\,\,\overline {ab} + \overline {ba} = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,\,11\\
\Rightarrow \overline {ab} + \overline {ba} \,\,\, \vdots \,\,11.\\
b)\,\,\,\,\overline {ab} – \overline {ba} \,\,\, \vdots \,\,9\\
Ta\,\,co:\,\,\,\,\,\overline {ab} – \overline {ba} = 10a + b – \left( {10b + a} \right) = 9a + 9b = 9\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,\,9\\
\Rightarrow \overline {ab} – \overline {ba} \,\,\, \vdots \,\,9.\\
2)\,\,\,Chung\,\,minh:\\
a)\,\,\,\left( {\overline {ab} + \overline {cd} } \right)\,\,\, \vdots \,\,99 \Rightarrow \overline {abcd} \,\, \vdots \,\,99\\
Ta\,\,\,co:\,\,\,\,\left( {\overline {ab} + \overline {cd} } \right)\,\,\, \vdots \,\,9\,\,\,va\,\,\,\,\left( {\overline {ab} + \overline {cd} } \right)\,\,\, \vdots \,\,11\\
\left( {\overline {ab} + \overline {cd} } \right)\,\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow \left( {a + b + c + d} \right)\,\, \vdots \,\,9\\
\Rightarrow \overline {abcd} \,\, \vdots \,\,9.\\
\left( {\overline {ab} + \overline {cd} } \right)\,\,\, \vdots \,\,11 \Rightarrow \left( {10a + b + 10c + d} \right)\,\, \vdots \,\,11\\
\Rightarrow 10\left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)\,\, \vdots \,\,11\\
\overline {abcd} = 1000a + 100b + 10c + d = 10\left( {a + c} \right) + 990a + 99b + \left( {b + d} \right)\\
= \left[ {100\left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)} \right] + 11\left( {90a + 9b} \right)\\
Vi\,\,\,10\left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)\,\, \vdots \,\,11\,\,va\,\,\,11\left( {90a + 9b} \right)\, \vdots \,\,11\\
\Rightarrow \,\overline {abcd} \,\,\, \vdots \,\,11\\
\Rightarrow \overline {abcd} \,\, \vdots \,\,9\,\,\,va\,\,\,\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,11 \Rightarrow \overline {abcd} \,\, \vdots \,\,99.\\
Vay\,\,neu\,\left( {\overline {ab} + \overline {cd} } \right)\,\,\, \vdots \,\,99\,\,\,thi\,\,\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,99\,.\\
Cau\,\,b\,\,\,chung\,\,minh\,\,\,tuong\,\,tu.\\
Cau\,\,\,3:\\
a)\,\,\,A = 1 + 3 + {3^2} + …. + {3^{1998}} + {3^{1999}} + {3^{2000}}\,\,\, \vdots \,\,13\\
So\,\,\,cac\,\,\,so\,\,\,hang\,\,cua\,\,\,A\,\,\,la:\,\,\,\,2000 – 0 + 1 = 2001\,\,\,so\,\,hang.\\
\Rightarrow Nhom\,\,\,A\,\,duoc\,\,\,667\,\,nhom,\,\,\,moi\,\,nhom\,\,\,co\,\,\,3\,\,\,so\,\,hang.\\
\Rightarrow A = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right) + …. + \left( {{3^{1998}} + {3^{1999}} + {3^{2000}}} \right)\\
= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + …… + {3^{1998}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\\
= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {1 + {3^3} + ….. + {3^{1998}}} \right)\\
= 13\left( {1 + {3^3} + …. + {3^{1998}}} \right)\\
\Rightarrow A\,\,\, \vdots \,\,\,13.\\
Cau\,\,b\,\,\,lam\,\,\,tuong\,\,tu.
\end{array}\]