1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
2. Cho phương trình: x mũ 2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1)
+ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
+ Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng 3.
1.
Gọi chữ số hàng đơn vị của số tự nhiên cần tìm là `x `
=> Chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị là `2 => (x + 2)`
Theo đề bài: Số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là `1`.
`=> 10(x+2) + x = (x+2)^2 + x^2 + 1 `
`<=> 2x^2 -7x – 15 =0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=5\\x=\dfrac{-3}{2} (L)\end{array} \right.\)
`=>` Đơn vị: `5`
Chục : `5 + 2 = 7`
=> Số cần tìm: `75`
Vậy số tự nhiên cần tìm là `75`.
2.
Có: `Δ = (m+1)^2 – 4.(2m-3)`
`= m^2 + 2m + 1 – 8m + 12`
`= m^2 – 6m + 13`
`= m^2 – 2. m . 3 + 3^2 + 4`
`= (m-3)^2 + 4 > 0 \forall m`
`=>` PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi `m` .
PT có 1 nghiệm bằng `3`
`=> 3^2 – (m+1).3 + 2m – 3 =0`
`<=> m=3`
Đáp án:
1) $75$
Gọi số cần tìm là $ab(a,b∈N;0≤b≤9;2≤a≤9)$
Do chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 $⇒a=b+2$
Do số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1
$⇒ab=a^2+b^2+1$
$⇔10a+b=a^2+b^2+1$
$⇔10(b+2)+b=(b+2)^2+b^2+1$
$⇔10b+20+b=b^2+4b+4+b^2+1$
$⇔11b+20=2b^2+4b+5$
$⇔2b^2-7b-15=0$
$⇔(2b+3)(b-5)=0$
$⇔b-5=0$ (do $2b+3>0$)
$⇔b=5$ (thỏa mãn)
$⇒a=b+2=5+2=7$ (thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là 75.
2:
a) Ta có $Δ=b^2-4ac=(-(m+1))^2-4.1.(2m-3)$
$=m^2+2m+1-8m+12=m^2-6m+13$
$=(m^2-6m+9)+4=(m-2)^2+4>0$
$⇒$ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. (đpcm)
b) $m=3$
Để phương trình có nghiệm là 3
$⇔3^2-(m+1).3+2m-3=0$
$⇔9-3m-3+2m-3=0$
$⇔3-m=0$
$⇔m=3$