1,Tìm giá trị lớn nhất: Q=2(2x+1)/x^2+2
M=2x^2-4x+12/x^2-2x+4
3, Cho a khác 0, b khác 0 và a+b=1
Chứng minh rằng: b/a^3-1-a/b^3-1=2(a-b)/a^b^2+3
1,Tìm giá trị lớn nhất: Q=2(2x+1)/x^2+2
M=2x^2-4x+12/x^2-2x+4
3, Cho a khác 0, b khác 0 và a+b=1
Chứng minh rằng: b/a^3-1-a/b^3-1=2(a-b)/a^b^2+3
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
Q = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2}}\\
{x^2} + 1 \ge 2.\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\\
\Rightarrow {x^2} + 2 \ge 2x + 1\\
\Rightarrow Q \le \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{2x + 1}} = 2\\
\Rightarrow {Q_{\max }} = 2 \Leftrightarrow x = 1\\
M = \frac{{2{x^2} – 4x + 12}}{{{x^2} – 2x + 4}} = \frac{{2{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 10}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 3}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 3} \right] + 4}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 3}}\\
= 2 + \frac{4}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 3}}\\
{\left( {x – 1} \right)^2} + 3 \ge 3,\,\,\,\forall x \Rightarrow \frac{4}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{4}{3} \Rightarrow M \le \frac{4}{3} + 2 = \frac{{10}}{3}\\
\Rightarrow {M_{\max }} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)