1) Tìm số tự nhiên n biết : 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 1275 2) Cho : A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^23 + 2^24 . Chứng tỏ rằng A chia hết cho 6 và A chia h

Đáp án:

1) n = 50.

2) A chia hết cho 6,7

3) \(n \ne 5k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)\)

4) \(n \in \left\{ {3;4;5;6;8;14} \right\}\).

Giải thích các bước giải:

1) \(1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 1275\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + n} \right).n:2 = 1275\\ \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n = 2550\end{array}\)

Do (n+1) và n là 2 số tự nhiên liên tiếp.

Mà 2550 = 50.51

Vậy n = 50.

2) \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + …. + {2^{23}} + {2^{24}}\)

\(\begin{array}{l}A = 2 + {2^2} + {2^3} + … + {2^{23}} + {2^{24}}\\A = \left( {2 + {2^2}} \right) + \left( {{2^3} + {2^4}} \right) + … + \left( {{2^{23}} + {2^{24}}} \right)\\A = \left( {2 + {2^2}} \right) + 2\left( {2 + {2^2}} \right) + … + {2^{22}}\left( {2 + {2^2}} \right)\\A = 6 + 2.6 + … + {2^{22}}.6\\A = 6\left( {1 + 2 + … + {2^{22}}} \right)\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,6\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + …. + \left( {{2^{22}} + {2^{23}} + {2^{24}}} \right)\\A = 2\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + … + {2^{22}}\left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\\A = 2.7 + {2^4}.7 + … + {2^{22}}.7\\A = 7\left( {2 + {2^4} + … + {2^{22}}} \right)\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,7\end{array}\)

3) Gọi \(\left( {2n + 3;4n + 1} \right) = d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 3\,\, \vdots \,\,d\\4n + 1\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2\left( {2n + 3} \right) – \left( {4n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 4n + 6 – 4n – 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 5\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;5} \right\}\end{array}\)

Để 2n+3 và 4n+1 là 2 STN cùng nhau thì \(d \ne 5\).

\( \Rightarrow 2n + 3\) không chia hết cho 5.

\( \Rightarrow 2n – 2\) không chia hết cho 5.

\( \Rightarrow 2\left( {n – 1} \right)\) không chia hết cho 5

Mà (2;5) = 1 => n-1 không chia hết cho 5.

Vậy \(n \ne 5k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)\) thì 2n+3 và 4n+1 là 2 STN cùng nhau.

4) Ta có:

\(\begin{array}{l}3\left( {n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,n – 2\\ \Rightarrow 3\left( {n + 2} \right) – 3\left( {n – 2} \right)\,\, \vdots \,\,n – 2\\ \Rightarrow 3n + 6 – 3n + 6\,\, \vdots \,\,n – 2\\ \Rightarrow 12\,\, \vdots \,\,n – 2\\ \Rightarrow n – 2 \in U\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\\ \Rightarrow n \in \left\{ {3;4;5;6;8;14} \right\}\end{array}\)

Vậy \(n \in \left\{ {3;4;5;6;8;14} \right\}\).