1. Trên tam giác ABC, lấy điểm M, N, P sao cho $dfrac{AM}{AB}=dfrac{BN}{NC}=dfrac{CP}{PA}=k.$ Gọi $S_{MNP}; S_{ABC}$ lần lượt là diện tích tam giác M

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\frac{PA}{CA} = \frac{PA}{CP + PA} = \frac{1}{1 + k}$

$\frac{MB}{AB} = \frac{AB – AM}{AB} = 1 – k; \frac{BN}{BC} = \frac{BN}{BN + NC} = \frac{k}{1 + k}$;

$\frac{NC}{BC} =\frac{NC}{BN + NC} = \frac{1}{1 + k}; \frac{CP}{CA} = \frac{CP}{CP + PA} = \frac{k}{1 + k}$;

$ 2S_{APM} = PA.AM.sinA; 2S_{ABC} = AB.AC.sinA $ 

$⇒\frac{S_{APM}}{S_{ABC}} = (\frac{AM}{AB})(\frac{PA}{CA}) = \frac{k}{1 + k}$ 

$ 2S_{BMN} = MB.BN.sinB; 2S_{ABC} = AB.BC.sinB $ 

$⇒\frac{S_{BMN}}{S_{ABC}} = (\frac{MB}{AB})(\frac{BN}{BC}) = \frac{k(1 – k)}{1 + k}$ 

$ 2S_{CNP} = NC.CP.sinC; 2S_{ABC} = BC.CA.sinC $ 

$⇒\frac{S_{CNP}}{S_{ABC}} = (\frac{NC}{BC})(\frac{CP}{CA}) = \frac{k}{(1 + k)²}$ 

$⇒S_{MNP} = S_{ABC} – (S_{APM} + S_{BMN} +  S_{CNP}) = $

$ = [1 – (\frac{k}{1 + k} + \frac{k(1 – k)}{1 + k} + \frac{k}{(1 + k)²})].S_{ABC}$

$ ⇒ 1 – [\frac{k}{1 + k} + \frac{k(1 – k)}{1 + k} + \frac{k}{(1 + k)²}] = \frac{3}{8}$

$ ⇔ \frac{k}{1 + k} + \frac{k(1 – k)}{1 + k} + \frac{k}{(1 + k)²} = \frac{5}{8}$

$ ⇔ 8k³ + 11k² – 2k – 5 = 0$

$ ⇔ (k + 1)²(8k – 5) = 0$

$ ⇔ k = \frac{5}{8}$