12(x+y) = 7xy Giải hệ 20(y+z) = 9yz 15(z+x) = 8zx Hứa vote 5* 17/07/2021 Bởi Jasmine 12(x+y) = 7xy Giải hệ 20(y+z) = 9yz 15(z+x) = 8zx Hứa vote 5*
Đáp án: $(x;y;z)∈\{(0;0;0);(3;4;5)\}$ Giải thích các bước giải: Dễ thấy bộ 3 số $(0;0;0)$ thỏa mãn đề bài. Nếu 2 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 1 phương trình, ta cũng được số còn lại bằng 0. Nếu 1 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 2 phương trình, ta cũng được 2 số còn lại bằng 0. Do vậy, ta sẽ chỉ xét trường hợp 3 số khác 0 Ta có: `12(x+y)=7xy⇔\frac{x+y}{xy}=\frac{7}{12}⇔\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}` `20(y+z)=9yz⇔\frac{y+z}{yz}=\frac{9}{20}⇔\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{9}{20}` `15(x+z)=8xz⇔\frac{x+z}{xz}=\frac{8}{15}⇔\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{8}{15}` `⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=\frac{7}{12}+\frac{9}{20}+\frac{8}{15}` `⇒2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{30}` `⇒\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60}` Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}` `⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{7}{12}` `⇒\frac{1}{z}=\frac{1}{5}⇒z=5` Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{9}{20}` `⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{9}{20}` `⇒\frac{1}{x}=\frac{1}{3}⇒x=3` Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{8}{15}` `⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})=\frac{47}{60}-\frac{8}{15}` `⇒\frac{1}{y}=\frac{1}{4}⇒y=4` Bình luận
Đáp án: $(x; y; z) = (0; 0; 0); (3; 4; 5)$ Giải thích các bước giải: $ 12(x + y) = 7xy (1); 20(y + z) = 9yz (2); 15(z + x) = 8zx (3)$ – Nếu $ x = 0; (1) ⇔ y = 0; (2) ⇔ z = 0$ thỏa $(3)$ Vậy $(x; y; z) = (0; 0; 0)$ là nghiệm – Xét $x; y; z \neq0$ Đặt $: t = \dfrac{1}{x}; u = \dfrac{1}{y}; v = \dfrac{1}{z}$ $ HPT$ tương đương : $ t + u = \dfrac{7}{12} (4); u + v = \dfrac{9}{20} (5); v + t = \dfrac{8}{15} (6)$ $(4) + (5) + (6) :$ $ 2(t + u + v) = \dfrac{94}{60} ⇔ t + u + v = \dfrac{47}{60} (7) $ $ (7) – (4) : v = \dfrac{47}{60} – \dfrac{7}{12} = \dfrac{1}{5} ⇒ z = 5$ $ (7) – (5) : t = \dfrac{47}{60} – \dfrac{9}{20} = \dfrac{1}{3} ⇒ x = 3$ $ (7) – (6) : u = \dfrac{47}{60} – \dfrac{8}{15} = \dfrac{1}{4} ⇒ y = 4$ Bình luận
Đáp án: $(x;y;z)∈\{(0;0;0);(3;4;5)\}$
Giải thích các bước giải:
Dễ thấy bộ 3 số $(0;0;0)$ thỏa mãn đề bài.
Nếu 2 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 1 phương trình, ta cũng được số còn lại bằng 0.
Nếu 1 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 2 phương trình, ta cũng được 2 số còn lại bằng 0.
Do vậy, ta sẽ chỉ xét trường hợp 3 số khác 0
Ta có:
`12(x+y)=7xy⇔\frac{x+y}{xy}=\frac{7}{12}⇔\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}`
`20(y+z)=9yz⇔\frac{y+z}{yz}=\frac{9}{20}⇔\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{9}{20}`
`15(x+z)=8xz⇔\frac{x+z}{xz}=\frac{8}{15}⇔\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{8}{15}`
`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=\frac{7}{12}+\frac{9}{20}+\frac{8}{15}`
`⇒2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{30}`
`⇒\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60}`
Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}`
`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{7}{12}`
`⇒\frac{1}{z}=\frac{1}{5}⇒z=5`
Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{9}{20}`
`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{9}{20}`
`⇒\frac{1}{x}=\frac{1}{3}⇒x=3`
Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{8}{15}`
`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})=\frac{47}{60}-\frac{8}{15}`
`⇒\frac{1}{y}=\frac{1}{4}⇒y=4`
Đáp án: $(x; y; z) = (0; 0; 0); (3; 4; 5)$
Giải thích các bước giải:
$ 12(x + y) = 7xy (1); 20(y + z) = 9yz (2); 15(z + x) = 8zx (3)$
– Nếu $ x = 0; (1) ⇔ y = 0; (2) ⇔ z = 0$ thỏa $(3)$
Vậy $(x; y; z) = (0; 0; 0)$ là nghiệm
– Xét $x; y; z \neq0$ Đặt $: t = \dfrac{1}{x}; u = \dfrac{1}{y}; v = \dfrac{1}{z}$
$ HPT$ tương đương :
$ t + u = \dfrac{7}{12} (4); u + v = \dfrac{9}{20} (5); v + t = \dfrac{8}{15} (6)$
$(4) + (5) + (6) :$
$ 2(t + u + v) = \dfrac{94}{60} ⇔ t + u + v = \dfrac{47}{60} (7) $
$ (7) – (4) : v = \dfrac{47}{60} – \dfrac{7}{12} = \dfrac{1}{5} ⇒ z = 5$
$ (7) – (5) : t = \dfrac{47}{60} – \dfrac{9}{20} = \dfrac{1}{3} ⇒ x = 3$
$ (7) – (6) : u = \dfrac{47}{60} – \dfrac{8}{15} = \dfrac{1}{4} ⇒ y = 4$