12(x+y) = 7xy Giải hệ 20(y+z) = 9yz 15(z+x) = 8zx Hứa vote 5*

Đáp án: $(x;y;z)∈\{(0;0;0);(3;4;5)\}$

Giải thích các bước giải:

Dễ thấy bộ 3 số $(0;0;0)$ thỏa mãn đề bài.

Nếu 2 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 1 phương trình, ta cũng được số còn lại bằng 0.

Nếu 1 trong 3 số đó bằng 0 thì áp dụng vào 2 phương trình, ta cũng được 2 số còn lại bằng 0.

Do vậy, ta sẽ chỉ xét trường hợp 3 số khác 0

Ta có:

`12(x+y)=7xy⇔\frac{x+y}{xy}=\frac{7}{12}⇔\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}`

`20(y+z)=9yz⇔\frac{y+z}{yz}=\frac{9}{20}⇔\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{9}{20}`

`15(x+z)=8xz⇔\frac{x+z}{xz}=\frac{8}{15}⇔\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{8}{15}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=\frac{7}{12}+\frac{9}{20}+\frac{8}{15}`

`⇒2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{30}`

`⇒\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60}`

Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{7}{12}`

`⇒\frac{1}{z}=\frac{1}{5}⇒z=5`

Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{9}{20}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{z}+\frac{1}{y})=\frac{47}{60}-\frac{9}{20}`

`⇒\frac{1}{x}=\frac{1}{3}⇒x=3`

Từ `\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{47}{60};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{8}{15}`

`⇒(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})=\frac{47}{60}-\frac{8}{15}`

`⇒\frac{1}{y}=\frac{1}{4}⇒y=4`