x^2 +9y +1=3x+6 $\sqrt[2]{xy}$ tìm nghiệm nguyên của pt

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ $: xy ≥ 0$

$ x² + 9y + 1 = 3x + 6\sqrt{xy} (*)$ 

– Xét $ x, y ≥ 0$

$ (*) ⇔ (x² – 4x + 4) + (x – 6\sqrt{xy} + 9y) = 3$ 

$ ⇔ (x – 2)² + (\sqrt{x} – 3\sqrt{y})² = 3$ 

$ ⇒ (x – 2)² ≤ 3 ⇔ – \sqrt{3} ≤ x – 2 ≤ \sqrt{3} ⇔ 0 < x ≤ 3$

Lần lượt thay $: x = 1; 2; 3$ vào $(*)$

không có $ y ∈ Z^{+}$ thỏa mãn

– Xét $ x, y < 0$.Đặt $: t = – x > 0 ; u = – y > 0$

$ (*) ⇔ (t² + 4t + 4) – (t + 6\sqrt{tu} + 9u) = 3$ 

$ ⇔ (t + 2)² – (\sqrt{t} + 3\sqrt{u})² = 3$ 

$ ⇔ (t + 2 – \sqrt{t} – 3\sqrt{u}) (t + 2 + \sqrt{t} + 3\sqrt{u}) = 3 (**)$

Vì $ t + 2 + \sqrt{t} + 3\sqrt{u} ≥ 2$ nên

$(**) ⇔ \left[\begin{array}{l}t + 2 – \sqrt{t} – 3\sqrt{u} = 1(1)\\t + 2 + \sqrt{t} + 3\sqrt{u} = 3(2)\end{array} \right.$

$(1) + (2) : 2t + 4 = 4 ⇒ t = 0 ⇔ x = 0$ ko thỏa mãn.

Vậy PT đã cho ko có nghiệm nguyên