2. Cho Parabol (P): y = 2x² và đường thẳng (d): y = x + 3 a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) b) Gọi A và B là giao điểm của (d) và (P), tính diện

Đáp án:

a) Xét pt hoành độ giao điểm của chúng:

$\begin{array}{l}
2{x^2} = x + 3\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} – x – 3 = 0\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x – 3x – 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  – 1;y = 2{x^2} = 2\\
x = \dfrac{3}{2};y = 2{x^2} = \dfrac{9}{2}
\end{array} \right.\\
Vậy\,\left( d \right) \cap \left( P \right):\left( { – 1;2} \right);\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2}} \right)\\
b)A\left( { – 1;2} \right);B\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2}} \right)\\
 \Leftrightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{9}{2} – 2} \right)}^2}}  = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\\
{h_O} = {d_{O – AB}} = {d_{O – d}}
\end{array}$

Gọi pt đường thẳng đi qua O vuông góc với d tại H là: 

$\begin{array}{l}
y = a.x\\
Do:OH \bot d\\
 \Leftrightarrow a.1 =  – 1\\
 \Leftrightarrow a =  – 1\\
 \Leftrightarrow y =  – x\\
Xet:x + 3 =  – x\\
 \Leftrightarrow 2x =  – 3\\
 \Leftrightarrow x =  – \dfrac{3}{2}\\
 \Leftrightarrow H\left( { – \dfrac{3}{2};0} \right)\\
 \Leftrightarrow {h_O} = OH = \dfrac{3}{2}\\
 \Leftrightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.h.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{15\sqrt 2 }}{8}
\end{array}$