2) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2
a) Với m = -1 : vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 – 2×2 = 5
Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)\left( P \right):y = {x^2}\\
+ Cho:x = 0 \Leftrightarrow y = 0\\
+ Cho:x = 1 \Leftrightarrow y = 1\\
+ Cho:x = – 1 \Leftrightarrow y = 1
\end{array}$
=> (P) là đường cong đi qua O và 2 điểm $\left( {1;1} \right);\left( { – 1;1} \right)$
$\begin{array}{l}
Khi:m = – 1\\
\Leftrightarrow \left( d \right):y = – x + 2\\
+ Cho:x = 0 \Leftrightarrow y = 2\\
+ Cho:x = 2 \Leftrightarrow y = 0
\end{array}$
=>đường thẳng d là đường thẳng đi qua 2 điểm $\left( {0;2} \right);\left( {2;0} \right)$
Xét pt hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l}
{x^2} = – x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Leftrightarrow y = 1\\
x = – 2 \Leftrightarrow y = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left( d \right) \cap \left( P \right) = \left( {1;1} \right);\left( { – 2;4} \right)\\
b)Xet:{x^2} = mx + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} – mx – 2 = 0\\
\Delta = {m^2} – 4.\left( { – 2} \right) = {m^2} + 8
\end{array}$
=> chúng luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} = – 2
\end{array} \right.\\
{x_1} – 2{x_2} = 5\\
\Leftrightarrow {x_1} = 2{x_2} + 5\\
\Leftrightarrow 2{x_2} + 5 + {x_2} = m\\
\Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{m – 5}}{3}\\
\Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{2m – 10}}{3} + 5 = \dfrac{{2m + 5}}{3}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{2m + 5}}{3}.\dfrac{{m – 5}}{3} = – 2\\
\Leftrightarrow 2{m^2} – 10m + 5m – 25 = – 18\\
\Leftrightarrow 2{m^2} – 5m – 7 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2m – 7} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{7}{2}\\
m = – 1
\end{array} \right.\\
Vậy\,m = – 1;m = \dfrac{7}{2}
\end{array}$