2/ Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 90 độ), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
Đường thẳng AB cắt EI tại F
Xét ΔABM và ΔDCM
AM=DM (gt)
MB=MC (gt)
$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (2 góc đối đỉnh)
`⇒` $\widehat{BAM}=\widehat{CDM}$
`⇒ FB//ID ⇒ ID ⊥ AC` và $\widehat{FAI}=\widehat{CIA}$ (2 góc so le trong) (1)
$IE//AC (gt)$ `⇒`$\widehat{FIA}=\widehat{CAI}$ (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) `⇒ ΔCAI = ΔFIA` (AI chung)
`⇒ IC=AC=AF (3)`
và $\widehat{EFA}=90^0$ (4)
Mặt khác $\widehat{EAF}=\widehat{BAH}$ (2 góc đối đỉnh)
$\widehat{ACB}=\widehat{BAH}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
`⇒` $\widehat{EAF}=\widehat{ACB}$ (5)
Từ (3), (4) và (5) `⇒ Δ AFE = ΔCAB ⇒ AE = BC`