2, Cho x,y ≥ 0 thỏa mãn x+y=1. Tìm Max, Min của A=x²+y² 24/07/2021 Bởi Margaret 2, Cho x,y ≥ 0 thỏa mãn x+y=1. Tìm Max, Min của A=x²+y²
Giải thích các bước giải: –Tìm MIN: Ta thấy : $x^{2}$ +$y^{2}$ – 2xy=$(x-y)^{2}$ $\geq$ 0 ⇒$x^{2}$ +$y^{2}$≥$(x-y)^{2}$ ⇔2($x^{2}$ +$y^{2}$)≥$(x+y)^{2}$(cộng cả hai vế với $x^{2}$ +$y^{2}$) ⇔2A ≥ 1(vì x+y=1) ⇒A ≥ $\frac{1}{2}$ Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$ Vậy $A_{min}$ =$\frac{1}{2}$ khi x=y=$\frac{1}{2}$ –TÌm MAX Thay y=1-x vào A ⇒A=$x^{2}$ +$(1-x^{2})^{2}$ =1+$2x^{2}$ -$2x^{}$ =1+$2x^{}$$(x-1)^{}$ Vì y ≥ 0 nên x = 1-y≤1 ⇒0 ≤ $x^{}$ ≤ 1⇒ $x^{}$$(x-1)^{}$ ≤ 0 ⇒A =1+$2x^{}$$(x-1)^{}$ ≤1+0=1 Dấu = xảy ra khi $x^{}$$(x-1)^{}$= 0 ⇒ x=0 hoặc x=1 +, Với x= 0 ⇒y=1 +, Với x= 1 ⇒y=0 Vậy $A_{max}$ =1 khi (x;y)=(0,1);(1;0) Mời bạn tham khảo ạ! Bình luận
Áp dụng BĐT Cauchy ta có $A = x^2 + y^2 \geq \dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$ Dấu “=” xảy ra khi $x = y$ và $x + y = 1$ hay $x = y = \dfrac{1}{2}$. Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{1}{2}$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$. Bình luận
Giải thích các bước giải:
–Tìm MIN:
Ta thấy : $x^{2}$ +$y^{2}$ – 2xy=$(x-y)^{2}$ $\geq$ 0
⇒$x^{2}$ +$y^{2}$≥$(x-y)^{2}$
⇔2($x^{2}$ +$y^{2}$)≥$(x+y)^{2}$(cộng cả hai vế với $x^{2}$ +$y^{2}$)
⇔2A ≥ 1(vì x+y=1)
⇒A ≥ $\frac{1}{2}$
Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$
Vậy $A_{min}$ =$\frac{1}{2}$ khi x=y=$\frac{1}{2}$
–TÌm MAX
Thay y=1-x vào A ⇒A=$x^{2}$ +$(1-x^{2})^{2}$ =1+$2x^{2}$ -$2x^{}$
=1+$2x^{}$$(x-1)^{}$
Vì y ≥ 0 nên x = 1-y≤1
⇒0 ≤ $x^{}$ ≤ 1⇒ $x^{}$$(x-1)^{}$ ≤ 0
⇒A =1+$2x^{}$$(x-1)^{}$ ≤1+0=1
Dấu = xảy ra khi $x^{}$$(x-1)^{}$= 0 ⇒ x=0 hoặc x=1
+, Với x= 0 ⇒y=1
+, Với x= 1 ⇒y=0
Vậy $A_{max}$ =1 khi (x;y)=(0,1);(1;0)
Mời bạn tham khảo ạ!
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$A = x^2 + y^2 \geq \dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$
Dấu “=” xảy ra khi $x = y$ và $x + y = 1$ hay $x = y = \dfrac{1}{2}$.
Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{1}{2}$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.