2, Cho x,y ≥ 0 thỏa mãn x+y=1. Tìm Max, Min của A=x²+y²

Giải thích các bước giải:

  –Tìm MIN:

  Ta thấy : $x^{2}$ +$y^{2}$ – 2xy=$(x-y)^{2}$ $\geq$ 0

          ⇒$x^{2}$ +$y^{2}$≥$(x-y)^{2}$ 

              ⇔2($x^{2}$ +$y^{2}$)≥$(x+y)^{2}$(cộng cả hai vế với $x^{2}$ +$y^{2}$)

              ⇔2A ≥ 1(vì x+y=1)

              ⇒A ≥  $\frac{1}{2}$ 

      Dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{2}$

  Vậy $A_{min}$ =$\frac{1}{2}$ khi x=y=$\frac{1}{2}$

 –TÌm MAX

       Thay y=1-x vào A ⇒A=$x^{2}$ +$(1-x^{2})^{2}$  =1+$2x^{2}$ -$2x^{}$ 

                                           =1+$2x^{}$$(x-1)^{}$ 

 Vì  y ≥ 0 nên x = 1-y≤1

⇒0 ≤ $x^{}$  ≤ 1⇒ $x^{}$$(x-1)^{}$ ≤ 0

⇒A =1+$2x^{}$$(x-1)^{}$ ≤1+0=1

Dấu = xảy ra khi $x^{}$$(x-1)^{}$= 0 ⇒ x=0 hoặc x=1

+, Với x= 0 ⇒y=1

+, Với x= 1 ⇒y=0

Vậy $A_{max}$ =1  khi (x;y)=(0,1);(1;0)

 Mời bạn tham khảo ạ!