x^2 + y^2 -x -y = 8 giải phương trình nghiệm nguyên 16/07/2021 Bởi Kennedy x^2 + y^2 -x -y = 8 giải phương trình nghiệm nguyên
`x^2 + y^2 -x -y = 8` `⇔(x^2-x+1/4)+(y^2-y+1/4)=8+1/2=(17)/2` `⇔(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=(17)/2` `⇔(2x-1)^2+(2y-1)^2=34` vì k mất tính tổng quát ⇒giả sử `x<y` xét các trường hợp `+)2x-1=1` `⇒(2y-1)^2=34-1=33` `⇒`loại (y k nguyên ) `+)2x-1=2` `⇒(2y-1)^2=34-2^2=30` `⇒`loại (y k nguyên) `+)2x-1=2` `⇒(2y-1)^2=34-2^2=30` `⇒`loại (y k nguyên) `+)2x-1=3⇒x=2` `⇒(2y-1)^2=34-3^2=25` `⇒`\(\left[ \begin{array}{l}2y-1=5\\2y-1=-5\end{array} \right.\) `⇒`\(\left[ \begin{array}{l}y=3\\y=-2\end{array} \right.\) `+)2x-1=4` `⇒(2y-1)^2=34-4^2=18` `⇒`loại (y k nguyên) `+)2x-1=5⇒x=3` `⇒(2y-1)^2=34-5^2=9` `⇒`\(\left[ \begin{array}{l}2y-1=3\\2y-1=-3\end{array} \right.\) `⇒`\(\left[ \begin{array}{l}y=2\\y=-1\end{array} \right.\) `+)2x-1=6` `⇒(2y-1)^2=34-6^2=-2` `⇒`loại `⇒(x;y)=(2;3);(2;-2);(3;-3);(3;-1)` và `(y;x)=(2;3);(2;-2);(3;-3);(3;-1)` Bình luận
Đáp án: $(x,y)\in\{(2,3), (-1,-2), (2,-2), (-1, 3), (3,2), (-2,-1), (-2, 2), (3, -1)\}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $x^2+y^2-x-y=8$ $\to 4x^2+4y^2-4x-4y=32$ $\to (4x^2-4x+1)+(4y^2-4y+1)=34$ $\to (2x-1)^2+(2y-1)^2=34$ $\to 0\le (2x-1)^2\le 34$ vì $x,y\in Z$ Mà $(2x-1)^2$ là số chính phương lẻ $\to (2x-1)^2\in\{1,9, 25\}$ $\to (2y-1)^2\in\{33, 25, 9\}$ Do $(2y-1)^2$ là số chính phương $\to ((2x-1)^2, (2y-1)^2)\in\{(9,25), (25,9)\}$ $\to (x,y)\in\{(2,3), (-1,-2), (2,-2), (-1, 3), (3,2), (-2,-1), (-2, 2), (3, -1)\}$ Bình luận
`x^2 + y^2 -x -y = 8`
`⇔(x^2-x+1/4)+(y^2-y+1/4)=8+1/2=(17)/2`
`⇔(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=(17)/2`
`⇔(2x-1)^2+(2y-1)^2=34`
vì k mất tính tổng quát
⇒giả sử `x<y`
xét các trường hợp
`+)2x-1=1`
`⇒(2y-1)^2=34-1=33`
`⇒`loại (y k nguyên )
`+)2x-1=2`
`⇒(2y-1)^2=34-2^2=30`
`⇒`loại (y k nguyên)
`+)2x-1=2`
`⇒(2y-1)^2=34-2^2=30`
`⇒`loại (y k nguyên)
`+)2x-1=3⇒x=2`
`⇒(2y-1)^2=34-3^2=25`
`⇒`\(\left[ \begin{array}{l}2y-1=5\\2y-1=-5\end{array} \right.\)
`⇒`\(\left[ \begin{array}{l}y=3\\y=-2\end{array} \right.\)
`+)2x-1=4`
`⇒(2y-1)^2=34-4^2=18`
`⇒`loại (y k nguyên)
`+)2x-1=5⇒x=3`
`⇒(2y-1)^2=34-5^2=9`
`⇒`\(\left[ \begin{array}{l}2y-1=3\\2y-1=-3\end{array} \right.\)
`⇒`\(\left[ \begin{array}{l}y=2\\y=-1\end{array} \right.\)
`+)2x-1=6`
`⇒(2y-1)^2=34-6^2=-2`
`⇒`loại
`⇒(x;y)=(2;3);(2;-2);(3;-3);(3;-1)`
và `(y;x)=(2;3);(2;-2);(3;-3);(3;-1)`
Đáp án: $(x,y)\in\{(2,3), (-1,-2), (2,-2), (-1, 3), (3,2), (-2,-1), (-2, 2), (3, -1)\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$x^2+y^2-x-y=8$
$\to 4x^2+4y^2-4x-4y=32$
$\to (4x^2-4x+1)+(4y^2-4y+1)=34$
$\to (2x-1)^2+(2y-1)^2=34$
$\to 0\le (2x-1)^2\le 34$ vì $x,y\in Z$
Mà $(2x-1)^2$ là số chính phương lẻ
$\to (2x-1)^2\in\{1,9, 25\}$
$\to (2y-1)^2\in\{33, 25, 9\}$
Do $(2y-1)^2$ là số chính phương
$\to ((2x-1)^2, (2y-1)^2)\in\{(9,25), (25,9)\}$
$\to (x,y)\in\{(2,3), (-1,-2), (2,-2), (-1, 3), (3,2), (-2,-1), (-2, 2), (3, -1)\}$