3. Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn ????x ² + ???? = (???? + 1)???? ²+ y. Chứng minh rằng ???? − ???? là một số chính phương.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Có: $px^2+x=(p+1)y^2+y$

$⇔ px^2+x=py^2+y^2+y$

$⇔ p(x^2-y^2)+x-y=y^2$

$⇔ (x-y)(px+py+1)=y^2$ $(*)$

$\text{Gọi $d$ là $ƯCLN(x-y; px+py+1)$}$

$\text{Khi đó: $\begin{cases}x-y \vdots d (1)\\px+py+1 \vdots d (2)\end{cases}$}$

$⇒ y^2 \vdots d^2$

$⇒ y \vdots d$

$\text{Từ (1) suy ra: $x \vdots d$}$

$\text{Từ (2) suy ra: $1 \vdots d$}$

$⇒ d=1$

$⇒ (x-y; px+py+1)=1$ $(**)$

$\text{Từ (*) và (**) suy ra: $x-y$ là số chính phương (đpcm)}$