3. Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn ????x ² + ???? = (???? + 1)???? ²+ y. Chứng minh rằng ???? − ???? là một số chính phương.

3. Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn ????x ² + ???? = (???? + 1)???? ²+ y. Chứng
minh rằng ???? − ???? là một số chính phương.

0 bình luận về “3. Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn ????x ² + ???? = (???? + 1)???? ²+ y. Chứng minh rằng ???? − ???? là một số chính phương.”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Có: $px^2+x=(p+1)y^2+y$

    $⇔ px^2+x=py^2+y^2+y$

    $⇔ p(x^2-y^2)+x-y=y^2$

    $⇔ (x-y)(px+py+1)=y^2$ $(*)$

    $\text{Gọi $d$ là $ƯCLN(x-y; px+py+1)$}$

    $\text{Khi đó: $\begin{cases}x-y \vdots d (1)\\px+py+1 \vdots d (2)\end{cases}$}$

    $⇒ y^2 \vdots d^2$

    $⇒ y \vdots d$

    $\text{Từ (1) suy ra: $x \vdots d$}$

    $\text{Từ (2) suy ra: $1 \vdots d$}$

    $⇒ d=1$

    $⇒ (x-y; px+py+1)=1$ $(**)$

    $\text{Từ (*) và (**) suy ra: $x-y$ là số chính phương (đpcm)}$

    Bình luận

Viết một bình luận