3. Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn ????x ² + ???? = (???? + 1)???? ²+ y. Chứng
minh rằng ???? − ???? là một số chính phương.
3. Cho p, x, y là các số tự nhiên thỏa mãn ????x ² + ???? = (???? + 1)???? ²+ y. Chứng
minh rằng ???? − ???? là một số chính phương.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Có: $px^2+x=(p+1)y^2+y$
$⇔ px^2+x=py^2+y^2+y$
$⇔ p(x^2-y^2)+x-y=y^2$
$⇔ (x-y)(px+py+1)=y^2$ $(*)$
$\text{Gọi $d$ là $ƯCLN(x-y; px+py+1)$}$
$\text{Khi đó: $\begin{cases}x-y \vdots d (1)\\px+py+1 \vdots d (2)\end{cases}$}$
$⇒ y^2 \vdots d^2$
$⇒ y \vdots d$
$\text{Từ (1) suy ra: $x \vdots d$}$
$\text{Từ (2) suy ra: $1 \vdots d$}$
$⇒ d=1$
$⇒ (x-y; px+py+1)=1$ $(**)$
$\text{Từ (*) và (**) suy ra: $x-y$ là số chính phương (đpcm)}$