3 số lập thành 1 cấp số nhân. Nếu ta trừ số hạng thứ 3 cho 4 thì ta được 1 cấp số cộng. Nếu ta trừ các số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số cộng thu được cho 1, ta lại được một cấp số nhân. Hãy tìm 3 số ban đầu
3 số lập thành 1 cấp số nhân. Nếu ta trừ số hạng thứ 3 cho 4 thì ta được 1 cấp số cộng. Nếu ta trừ các số hạng thứ 2 và thứ 3 của cấp số cộng thu được cho 1, ta lại được một cấp số nhân. Hãy tìm 3 số ban đầu
Đáp án: \(\left\{ {\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{{49}}{9}} \right\},\left\{ {1,3,9} \right\}\)
Giải thích các bước giải:
Gọi 3 số lần lượt là \(a,ad,a{d^2}\)
Nếu trừ số hạng thứ 3 cho 4 ta được cấp số cộng \(a,ad,a{d^2} – 4\)
Nếu trừ các số hạng thứ hai và ba của cấp số cộng cho 1 ta được cấp số nhân là
\(a,ad – 1,a{d^2} – 5\)
Ta có
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + a{d^2} – 4 = 2ad\\
a(a{d^2} – 5) = {(ad – 1)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + a{d^2} – 4 = 2ad\\
a = \frac{1}{{2d – 5}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{{2d – 5}}\\
\frac{1}{{2d – 5}} + \frac{{{d^2}}}{{2d – 5}} – 4 = \frac{{2d}}{{2d – 5}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{{2d – 5}}\\
1 + {d^2} – 4(2d – 5) = 2d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
d = 7\\
a = \frac{1}{9}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
d = 3\\
a = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)
vậy bộ 3 số là \(\left\{ {\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{{49}}{9}} \right\},\left\{ {1,3,9} \right\}\)