60điểm +5*+câu trả lời hay nhất :)) cho a;b là 2 số thực dương thỏa mãn ab+4 ≤2b Tìm GTLN ab / a ²+2b ²

0 bình luận về “60điểm +5*+câu trả lời hay nhất :)) cho a;b là 2 số thực dương thỏa mãn ab+4 ≤2b Tìm GTLN ab / a ²+2b ²”

1. Đáp án:

   $GTLN$ của $\frac{ab}{a² + 2b²} = \frac{4}{33}$ khi $ a = 1; b = 4$

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có $: – (x – \sqrt[]{2})² ≤ 0 ⇔ 2\sqrt[]{2}.x ≤ x² + 2$

   $⇔ \frac{x}{x² + 2} ≤ \frac{1}{2\sqrt[]{2}}$ với $∀x$. Dấu $”=”$ xảy ra khi $x = \sqrt[]{2}$

   Mặt khác với $∀x; y$ thỏa mãn:$ 0 < x ≤ y < \sqrt[]{2} (1) ⇒ xy < 2 $

   $⇒ (x – y)(2 – xy) ≤ 0 ⇔ xy² – x²y + 2x – 2y ≤ 0$

   $⇔ x(y² + 2) ≤ y(x² + 2) ⇔ \frac{x}{x² + 2} ≤ \frac{y}{y² + 2} (2)$

   Đặt $x = \frac{a}{b} > 0$. Áp dụng BĐT Cô si :

   $ 4 \sqrt[]{x} = 4\sqrt[]{\frac{a}{b}} = 2\sqrt[]{a.\frac{4}{b}} ≤ a + \frac{4}{b} = \frac{ab + 4}{b}≤ 2$

   $ ⇒ 0 < x ≤ \frac{1}{4} < \sqrt[]{2} (3)$

   Từ $(1);(2);(3)$ áp dụng với $y = \frac{1}{4}$ ta có:

   $ \frac{ab}{a² + 2b²} =\frac{\frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})²+ 2 } = \frac{x}{x² + 2} ≤ \frac{\frac{1}{4}}{(\frac{1}{4})² + 2} = \frac{4}{33}$

   $ ⇒ GTLN$ của $ \frac{ab}{a² + 2b²} = \frac{4}{33}$

   Đạt được khi $: \frac{a}{b} = x = \frac{1}{4} ⇔ 4a  = b ⇔ a = 1; b = 4$

    

   Bình luận