cho dtr tâm O, từ A bên ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm), AO cắt BC tại H, kẻ đường kính BD, AD cắt (O) tại E, CE cắt AO tại F. Chứng minh F là trung diểm của AH
cho dtr tâm O, từ A bên ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm), AO cắt BC tại H, kẻ đường kính BD, AD cắt (O) tại E, CE cắt AO tại F. C
By Bella
Xét tứ giác $ABOC$ có:
$\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 180^o$
Do đó $ABOC$ là tứ giác nội tiếp
⇒ $\widehat{OBC} = \widehat{OAC}$ (cùng nhìn cạnh $OC$)
mà $\widehat{OBC} = \widehat{CED}$ (cùng chắn $\overparen{CD}$)
và $\widehat{CED} = \widehat{FEA}$ (đối đĩnh)
nên $\widehat{OAC} =\widehat{FEA}$
Xét $ΔFEA$ và $ΔFAC$ có:
$\widehat{AFC}:$ góc chung
$\widehat{FAC} = \widehat{FEA}$ $(cmt)$
Do đó $ΔFEA\simΔFAC \, (g.g)$
⇒ $\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{FA}{FC}$
hay $FA^{2} = FE.FC$ $(1)$
Ta có: $AB, AC$ là các tiếp tuyến và $B, C$ là các tiếp điểm $(gt)$
⇒ $OA$ là trung trực của $BC$
⇒ $OA\perp BC$
⇒ $ΔHEC$ vuông tại $H$
⇒ $\widehat{AHB} = 90^o$
Mặt khác, ta có:
$\widehat{BED} = 90^o$ (nhìn đường kính $BD$)
hay $\widehat{BEA} = 90^o$
Xét tứ giác $BHEA$ có:
$\widehat{AHB} = \widehat{BEA} = 90^o$
⇒ $BHEA$ là tứ giác nội tiếp
⇒ $\widehat{EHC} = \widehat{EAB}$ (cùng bù $\widehat{EHB}$)
mà $\widehat{EAB} = \widehat{DBE}$ (cùng phụ $\widehat{EBA}$)
nên $\widehat{EHC} = \widehat{DBE}$
Xét $ΔEHC$ và $ΔEBD$ có:
$\widehat{EHC} = \widehat{DBE}$ $(cmt)$
$\widehat{ECH} = \widehat{EDB}$ (cùng chắn $\overparen{BE}$)
Do đó $ΔEHC\sim ΔEBD \, (g.g)$
⇒ $\widehat{HEC} = \widehat{BED} = 90^o$
⇒ $HE\perp EC$ hay $HE\perp FC$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔHEC$ vuông tại $H$, đường cao $HE$ ta được:
$HF^{2} = FE.FC$ $(2)$
Từ $(1)(2) ⇒ HF^{2} = FA^{2}$
⇒ $HF = FA$
Hay $F$ là trung điểm $AH$
Đây nha bn ????