chứng minh rằng nếu 10^k-1 chia hết cho 19 với k thuộc n thì 10^a.k -1 chia hết cho 19 b) chúng minh rằng tồn tại một bội của 19 có tổng các chữ số b

0 bình luận về “chứng minh rằng nếu 10^k-1 chia hết cho 19 với k thuộc n thì 10^a.k -1 chia hết cho 19 b) chúng minh rằng tồn tại một bội của 19 có tổng các chữ số b”

1. a)Ta có 10^k -1 chia hết cho 19

   ⇒ 10^k -1≡ 0(mod 19)

   ⇒ 10^k -1+1≡0 + 1(mod 19)

   ⇒ 10^k        ≡ 1 (mod 19)

   ⇒ 10^a.k      ≡ 1(mod 19)

   ⇒ 10^a.k -1 ≡ 1-1(mod 19)

   ⇒ 10^a.k -1≡ 0 (mod 19)

   Vì 10^a.k -1 đồng dư với 0 theo môđun 19 ⇒ 10^a.k -1 chia hết cho 19        (đpc/m)

   b)Ta xét dãy số gồm 20 số: 19;1919;191919;….,.;1919….19

                                                                                 20 số 19

   Áp dụng nguyên lý Điricle thì có ít nhất [20/19] + 1=2 số có cùng số dư khi chia cho 19

   Giả sử hai số đó là a=1919…..19 ; b=1919….19 (n>m,n;m∈N)

                                       n số 19            m số 19

   ⇒(a – b) chia hết cho 19

   ⇒(1919….19  –   1919….19) chia hết cho 19

   ⇒ 1919…19  00…0         chia hết cho 19

     n-m số 19  m số 19

   ⇒ 1919….19 . 10^m chia hết cho 19

       n-m số 19

   Mà (10^m;19)=1

   ⇒1919….19 chia hết cho 19⇒là bội của 19

   Vậy ta c/m dc tồn tại 1 số toàn số 19 là bội của 19

   Trả lời

2.  Ta có : $a^n-1 = (a-1).(a^{n-1}+a^{n-2}+….+1) \vdots a-1$

   Do đó : $a^n-1 \vdots a-1$

   Áp dụng vào bài toán thì ta có :

   $10^{a.k}-1 = (10^k)^a-1  \vdots 10^k-1$

   mà : $10^k -1 \vdots 19$

   Nên $10^{k.a} – 1 \vdots 19$ 

   $\to đpcm$

   Trả lời