Toán Cho hàm số y = (x ² +2mx+3)/(x-2) ². Tìm m để hàm số có cực trị 08/10/2021 By Genesis Cho hàm số y = (x ² +2mx+3)/(x-2) ². Tìm m để hàm số có cực trị
Ta có $y’ = \dfrac{(2x + 2m)(x-2)^2 – (x^2 + 2mx + 3).2(x-2)}{(x-2)^4}$ $= 2\dfrac{(x+m)(x^2 – 4x + 4) – (x-2)(x^2 + 2mx + 3)}{(x-2)^4}$ $= 2 \dfrac{(x^3 + (m-4)x^2 + (4 – 4m)x + 4m – [x^3 + (2m-2)x^2 + (3-4m)x – 6]}{(x-2)^4}$ $= 2 \dfrac{(-m -2)x^2 + x + 4m + 6}{(x-2)^4}$ Để hso có cực trị thì ptrinh $y’ = 0$ phải có nghiệm, tức là ptrinh sau đây phải có nghiệm $(-m-2)x^2 + x + 4m + 6 = 0$ có nghiệm. Với $m = -2$ ta có $x -2 = 0$ $<-> x = 2$ Vậy ptrinh có nghiệm. Với $m \neq -2$ thì để ptrinh có nghiệm ta có $\Delta \geq 0$ hay $1 – 4(-m-2)(4m + 6) \geq 0$ $<-> 1 + 4(m+2)(4m + 6) \geq 0$ $<-> 1 + 4(4m^2 +14m + 12) \geq 0$ $<-> 16m^2 + 56m + 49 \geq 0$ $<-> (4m + 7)^2 \geq 0$ điều này đúng với mọi $m$. Do đó hso luôn có cực trị với mọi $m$. Trả lời
Ta có
$y’ = \dfrac{(2x + 2m)(x-2)^2 – (x^2 + 2mx + 3).2(x-2)}{(x-2)^4}$
$= 2\dfrac{(x+m)(x^2 – 4x + 4) – (x-2)(x^2 + 2mx + 3)}{(x-2)^4}$
$= 2 \dfrac{(x^3 + (m-4)x^2 + (4 – 4m)x + 4m – [x^3 + (2m-2)x^2 + (3-4m)x – 6]}{(x-2)^4}$
$= 2 \dfrac{(-m -2)x^2 + x + 4m + 6}{(x-2)^4}$
Để hso có cực trị thì ptrinh $y’ = 0$ phải có nghiệm, tức là ptrinh sau đây phải có nghiệm
$(-m-2)x^2 + x + 4m + 6 = 0$
có nghiệm. Với $m = -2$ ta có
$x -2 = 0$
$<-> x = 2$
Vậy ptrinh có nghiệm.
Với $m \neq -2$ thì để ptrinh có nghiệm ta có $\Delta \geq 0$ hay
$1 – 4(-m-2)(4m + 6) \geq 0$
$<-> 1 + 4(m+2)(4m + 6) \geq 0$
$<-> 1 + 4(4m^2 +14m + 12) \geq 0$
$<-> 16m^2 + 56m + 49 \geq 0$
$<-> (4m + 7)^2 \geq 0$
điều này đúng với mọi $m$. Do đó hso luôn có cực trị với mọi $m$.