Tính tích phân cận từ 0 đến 1 của x nhân căn bậc 2 (1-x^2)

0 bình luận về “Tính tích phân cận từ 0 đến 1 của x nhân căn bậc 2 (1-x^2)”

1. Đặt $u=\sqrt[]{1-x^2} → 2udu=-2xdx → xdx=-udu$

   Đổi cận:

   $x=0 → u=1$

   $x=1 → u=0$

   $→ \int\limits^1_0 {x\sqrt[]{1-x^2}} \, dx$

   $=\int\limits^1_0 {u^2} \, du$

   $=\dfrac{u^3}{3}|_{0}^{1}$

   $=\dfrac{1}{3}$.

    

   Trả lời

2. Đáp án:

   \[I = \int\limits_0^1 {x.\sqrt {1 – {x^2}} dx}  = \dfrac{1}{3}\]

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   I = \int\limits_0^1 {x.\sqrt {1 – {x^2}} dx} \\
   t = 1 – {x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   dt = \left( {1 – {x^2}} \right)’dx =  – 2xdx\\
   x = 0 \Rightarrow t = 1\\
   x = 1 \Rightarrow t = 0
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow I = \int\limits_1^0 {\sqrt t .\dfrac{{ – dt}}{2}}  =  – \int\limits_0^1 {\sqrt t .\dfrac{{ – dt}}{2}}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\sqrt t dt}  = \dfrac{1}{2}.\int\limits_0^1 {{t^{\dfrac{1}{2}}}dt} \\
    = \mathop {\left. {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{t^{\dfrac{1}{2} + 1}}}}{{\dfrac{1}{2} + 1}}} \right|}\nolimits_0^1  = \mathop {\left. {\dfrac{1}{3}{t^{\dfrac{3}{2}}}} \right|}\nolimits_0^1  = \dfrac{1}{3}.\left( {{1^{\dfrac{3}{2}}} – {0^{\dfrac{3}{2}}}} \right) = \dfrac{1}{3}
   \end{array}\)

   Vậy \(I = \int\limits_0^1 {x.\sqrt {1 – {x^2}} dx}  = \dfrac{1}{3}\)

   Trả lời