Giải phương trình : 3sin^2x – 4sinx cosx + 5cos^2x = 2.

Đáp án:

$x=\arctan3+k π $ và $x=\dfrac{ π}{4}+k π$ $(k\in\mathbb Z)$

Giải thích các bước giải:

$3\sin^{2}x-4\sin x\cos x+5\cos^{2}x=2\\ \Leftrightarrow 3\sin^{2}x-4\sin x\cos x+5\cos^{2}x=2(\sin^{2}x+\cos^{2}x)\\ \Leftrightarrow \sin^{2}x-4\sin x\cos x+3\cos^{2}x=0\\ \Leftrightarrow(\sin x-3\cos x)(\sin x-\cos x)=0\text { (1)}\\ \cos x=0\text{ do }\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow\sin x=\pm1\\ \text{Thay vào phương trình ta có: }3.1-0+0=2\text{ (vô lý, loại)}\\ \Rightarrow\cos x=0\text{ không là nghiệm của phương trình,}\\ \text{ta chia hai vế (1) cho }\cos^2x\text{ ta được:}\\ \dfrac{\sin x-3\cos x}{\cos x}.\dfrac{ \sin x-\cos x}{\cos x}=0\\ \Leftrightarrow (\tan x-3)(\tan x-1)=0\\ \Leftrightarrow \tan x=3 \quad\text{hoặc tanx=1}\\ \Leftrightarrow x=\arctan3+k π \quad\text{hoặc $x=\dfrac{ π}{4}$+k π}$ $(k\in\mathbb Z)$

Vậy phương trình có nghiệm:

$x=\arctan3+k π $ và $x=\dfrac{ π}{4}+k π$ $(k\in\mathbb Z)$.