tìm giá trị m để bất phương trình $\sqrt{(x+7)(3-x) }$ $\leq$ $x^{2}$+4x+m+2 nghiệm đúng với mọi x ∈ [-7;3]

0 bình luận về “tìm giá trị m để bất phương trình $\sqrt{(x+7)(3-x) }$ $\leq$ $x^{2}$+4x+m+2 nghiệm đúng với mọi x ∈ [-7;3]”

1. Đặt $t=\sqrt{(x+7)(3-x)}$ với $t \ge 0$

   Ta có $t^2=-x^2-4x+21=-(x+2)^2+25\le 25\Rightarrow t\le 5$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=-2$ nằm trong $[-7;3]$. Vậy $0\le t\le 5$

   Bất phương trình trở thành $t\le -t^2+23+m\Rightarrow m\ge t^2+t-23$ trong đoạn $t\in[0;5]$

   Để bất phương trình luôn có nghiệm đúng $\forall x\in [-7;3]$ thì bất phương trình luôn có nghiệm đúng $\forall t\in[0;5]$

   Yêu cầu đề bài tương đương với $m \ge \mathop {\max \left( {{t^2} + t – 23} \right) = 7}\limits_{[0;5]}$

   Vậy $m\ge 7$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    

   Trả lời

2. `sqrt((x+7)(3-x))≤x^2+4x+m+2(-7≤x≤3)`

   Đặt `sqrt(-x^2-4x+21)=t(0≤t≤5)`

   `=>t^2+t-23-m ≤0`

   `<=>m≥t^2+t-23`

   Vẽ bảng biến thiên, ta thấy gtln của `t^2+t-23` trên đoạn `[0;5]` là `7`

   `=>m≥7`

   Trả lời