Số g.trị nguyên của `a` để BPT :` (3a-1){2x}/{x^2+1}-2a> 0 ` nghiệm đúng với mọi `x` thuộc `[0 ; + ∞)`

0 bình luận về “Số g.trị nguyên của `a` để BPT :` (3a-1){2x}/{x^2+1}-2a> 0 ` nghiệm đúng với mọi `x` thuộc `[0 ; + ∞)`”

1. Đặt $t=\dfrac{2x}{x^2+1}$. 
   $\begin{array}{l} t = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} – 1 + 1 = \dfrac{{ – {x^2} + 2x – 1}}{{{x^2} + 1}} + 1 = \dfrac{{ – {{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}} + 1 \le 1\\ t = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} – 1 + 1 = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} – 1 = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} – 1 \ge  – 1\\  \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right] \end{array}$

   Vậy nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $x\in[0;+\infty)$ thì t có nghiệm đúng trong khoảng $[0;1]$

   Bất phương trình tương đương với $(3a-1)t-2a>0$ có nghiệm đúng với mọi $t\in[0;1]$

   $(3a-1)t-2a>0\Leftrightarrow (3a-1)t>2a(*)$

   Với $a> \dfrac{1}{3}$ bất phương trình trở thành $a\ge \dfrac{2a}{3a-1}$

   Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\dfrac{{2a}}{{3a – 1}}; + \infty } \right)$ 

   Để bất phương  trình có nghiệm đúng với mọi $t\in[0;1]$ thì 
   $\left[ {0;1} \right] \subset \left[ {\dfrac{{2a}}{{3a – 1}}; + \infty } \right) \Rightarrow \dfrac{{2a}}{{3a – 1}} \le 0 \Leftrightarrow a \le 0$. Dựa vào $a> \dfrac{1}{3}$ không có a thỏa mãn

   Với $a=\dfrac{1}{3}$, bất phương trình trởthành $0x\ge \dfrac{2}{3}$. Bất phương trình (*) vô nghiệm

   Với $a<\dfrac{1}{3}$, bất phương trình trở thành $x\le \dfrac{2a}{3a-1}$.

   Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { – \infty ;\dfrac{{2a}}{{3a – 1}}} \right]$

   Để bất phương trình có nghiệm đúng với $t\in[0;1]$ thì 
   $\left[ {0;1} \right] \subset \left( { – \infty ;\dfrac{{2a}}{{3a – 1}}} \right] \Rightarrow \dfrac{{2a}}{{3a – 1}} \ge 1 \Leftrightarrow 2a \le 3a – 1 \Leftrightarrow a \ge 1$

   Dựa vào điều kiện $a<\dfrac{1}{3}$ nên không tồn tại $m$ thỏa yêu cầu bài toán

   Vậy không tồn tại $a$ thỏa yêu cầu bài toán  

    

    

   Trả lời