0 bình luận về “`A=1+2^3+3^3+…+n^3`
`B=1+2+3+…+n`
Chứng minh `AvdotsB`.”
$\text{Để A⋮B thì} \frac{A}{B} \text{là một số tự nhiên,theo bài ra ta có:}\\A=1+2^2+3^3+…+n^3\\A=(1+2+3+…+n)^3\\A=(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)\\⇒\frac{A}{B}=\frac{(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)}{1+2+3+…+n}\\⇒\frac{A}{B}=(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)\\\text{Vì n ∈N}\\⇒(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n) \in N\\⇒\frac{A}{B} \text{là một số tự nhiên}\\⇒A⋮B\\\text{Vậy A⋮B}\\\text{#Aceburn}$
$\text{Để A⋮B thì} \frac{A}{B} \text{là một số tự nhiên,theo bài ra ta có:}\\A=1+2^2+3^3+…+n^3\\A=(1+2+3+…+n)^3\\A=(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)\\⇒\frac{A}{B}=\frac{(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)}{1+2+3+…+n}\\⇒\frac{A}{B}=(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n)\\\text{Vì n ∈N}\\⇒(1+2+3+…+n)(1+2+3+…+n) \in N\\⇒\frac{A}{B} \text{là một số tự nhiên}\\⇒A⋮B\\\text{Vậy A⋮B}\\\text{#Aceburn}$
ta chứng minh A=1+2³+3³+….+n³=(1+2+3+..+n)²
nếu n=1 bài toán thỏa mãn
giả sử bài toán đúng với n=k;
ta có 1+2³+3³+….+k³=(1+2+3+..+k)²(1)
ta chứng minh bài toán đúng với n=k+1 thì
1+2³+3³+….+k³+(k+1)³=(1+2+3+..+k+k+1)²
(1+2+3+..+k)²+(k+1)³=(1+2+3+..+k)²+2.(1+2+3+..+k).(k+1) +(k+1)²
(k+1)³=2.(1+2+3+..+k).(k+1) +(k+1)²(2)
ta có 1+2+3+…+k=$\frac{(k+1).k}{2}$
(2)⇔(k+1)³=2$\frac{(k+1).k}{2}$ .(k+1)+(k+1)²
⇔(k+1)³=(k+1)².k+(k+1)²
⇔(k+1)³=(k+1)³ (bài toán thỏa mãn )
dó đó A=1+2³+3³+….+n³=(1+2+3+..+n)² chia hết cho B=1+2+…+n