A=1/21+1/22+1/23+1/24+…+1/40. Chứng minh 7/12

12/10/2021 Bởi Allison

0 bình luận về “A=1/21+1/22+1/23+1/24+…+1/40. Chứng minh 7/12<A<5/6”

1. Giải thích các bước giải: 

   CM: $\frac{7}{12}$$ < A < $$\frac{5}{6}$

   Ta có: $A = $$\frac{1}{21}$ +  $\frac{1}{22}$+….$\frac{1}{40}$

   Chia A ra làm 2 nhóm: Ta có: $A1+A2=A$

   $A1=$$\frac{1}{21}$ +  $\frac{1}{22}$+….$\frac{1}{30}$ >  $\frac{1}{30}$+$\frac{1}{30}$ +…..+ $\frac{1}{30}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{30}$)=$\frac{1}{3}$ (1)

   $A2=$$\frac{1}{31}$ +  $\frac{1}{32}$+….$\frac{1}{40}$ >  $\frac{1}{40}$+$\frac{1}{40}$ +…..+ $\frac{1}{40}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{40}$)=$\frac{1}{4}$ (2)

   Từ (1) và (2) ⇒ $\left \{ {{A1 > \frac{1}{3}} \atop {A2>\frac{1}{4}}} \right.$

   Ta có: $\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$ 

   Mà $A= A1+ A2$

   $⇒ A1 + A2 > \frac{7}{12}$ 

   hay $A >$ $\frac{7}{12}$ (3)

   $A1=$$\frac{1}{21}$ +  $\frac{1}{22}$+….$\frac{1}{30}$ <  $\frac{1}{20}$+$\frac{1}{20}$ +…..+ $\frac{1}{20}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{20}$)$=$$\frac{1}{2}$(4)

   $A2=$$\frac{1}{31}$ +  $\frac{1}{32}$+….$\frac{1}{40}$ >  $\frac{1}{30}$+$\frac{1}{30}$ +…..+ $\frac{1}{30}$ (Có 10 phân số $\frac{1}{30}$)$=$$\frac{1}{3}$ (5)

   Từ (4) và (5) $⇒$$\left \{ {{A1 < \frac{1}{2}} \atop {A2 < \frac{1}{3}}} \right.$

   Ta có: $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$

   Mà $A= A1+ A2$

   $⇒ A1+ A2 < \frac{5}{6}$

   hay $A < \frac{5}{6}$ (6)

   Từ (3) và (6) ⇒  $\frac{7}{12}$$ < A <$ $\frac{5}{6}$ (đpcm)

   Bình luận