`a^3/(a^2+ab+b^2) + b^3/(b^2+bc+c^2) +c^3/(c^2+ac+a^2)=2019` tính `P=b^3/(a^2+ab+b^2) + c^3/(b^2+bc+c^2) +a^3/(c^2+ac+a^2)`
`a^3/(a^2+ab+b^2) + b^3/(b^2+bc+c^2) +c^3/(c^2+ac+a^2)=2019` tính `P=b^3/(a^2+ab+b^2) + c^3/(b^2+bc+c^2) +a^3/(c^2+ac+a^2)`
Đáp án:
\(P = 2019\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\text{Ta có:}\\
\dfrac{a^3}{a^2 + ab + b^2} = \dfrac{a^3 – b^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2}\\
\qquad \qquad \qquad = \dfrac{a^3 – b^3}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{b^3}{a^2 + ab + b^2}\\
\qquad \qquad \qquad = \dfrac{(a-b)(a^2 + ab+ b^2)}{a^2 + ab+b^2} + \dfrac{b^3}{a^2 + ab + b^2}\\
\qquad \qquad \qquad = a – b + \dfrac{b^3}{a^2 + ab + b^2}\\
\text{Tương tự, ta có:}\\
\dfrac{b^3}{b^2 + bc + c^2} = b – c + \dfrac{c^3}{b^2 +bc + c^2}\\
\dfrac{c^3}{c^2 + ca + a^2} = c – a + \dfrac{a^3}{c^2 + ca + a^2}\\
\text{Cộng vế theo vế ta được:}\\
\dfrac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + ca + a^2}\\
= a – b + \dfrac{b^3}{a^2 + ab + b^2} + b – c + \dfrac{c^3}{b^2 +bc + c^2} + c – a + \dfrac{a^3}{c^2 + ca + a^2}\\
\Leftrightarrow 2019 = \dfrac{b^3}{a^2 + ab + b^2} + \dfrac{c^3}{b^2 +bc + c^2}+ \dfrac{a^3}{c^2 + ca + a^2}\\
\Leftrightarrow 2019 = P\\
\text{Vậy}\ P = 2019
\end{array}\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét hiệu:2019-P
=($\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ +$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}$ +$\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}$)-($\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$ +$\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}$ +$\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}$)
=$\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ +$\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}$ +$\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}$
=$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}$ +$\frac{(b-c)(b^2+bc+c^2)}{b^2+bc+c^2}$ +$\frac{(c-a)(c^2+ac+a^2)}{c^2+ac+a^2}$
=a-b+b-c+c-a=0
⇔ 2019-P=0
⇒P=2019