A= 5 + 5^2 + 5^3 +….+5^2018 chứng tỏ A chia hết cho 30 B= 3+3^2+3^3+…+3^60 chứng tỏ A chia hết cho 4 và 13

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
*)\\
A = 5 + {5^2} + {5^3} + ….. + {5^{2018}}\\
 = \left( {5 + {5^2}} \right) + \left( {{5^3} + {5^4}} \right) + \left( {{5^5} + {5^6}} \right) + …… + \left( {{5^{2017}} + {5^{2018}}} \right)\\
 = \left( {5 + {5^2}} \right) + {5^2}.\left( {5 + {5^2}} \right) + {5^4}.\left( {5 + {5^2}} \right) + …. + {5^{2016}}.\left( {5 + {5^2}} \right)\\
 = 30 + {5^2}.30 + {5^4}.30 + ….. + {5^{2016}}.30\\
 = 30.\left( {1 + {5^2} + {5^4} + ….. + {5^{2016}}} \right)\,\, \vdots \,\,30\\
*)\\
B = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + ….. + {3^{60}}\\
 = \left( {3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4}} \right) + ….. + \left( {{3^{59}} + {3^{60}}} \right)\\
 = 3.\left( {1 + 3} \right) + {3^3}.\left( {1 + 3} \right) + ….. + {3^{59}}.\left( {1 + 3} \right)\\
 = 3.4 + {3^3}.4 + ….. + {3^{58}}.4\\
 = 4.\left( {3 + {3^3} + ….. + {3^{58}}} \right)\,\, \vdots \,\,4\\
*)\\
B = 3 + {3^2} + {3^3} + ….. + {3^{60}}\\
 = \left( {3 + {3^2} + {3^3}} \right) + \left( {{3^4} + {3^5} + {3^6}} \right) + …… + \left( {{3^{58}} + {3^{59}} + {3^{60}}} \right)\\
 = 3.\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^4}.\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ….. + {3^{58}}.\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\\
 = 3.13 + {3^4}.13 + ….. + {3^{58}}.13\\
 = 13.\left( {3 + {3^4} + …. + {3^{58}}} \right)\,\, \vdots \,\,13
\end{array}\)