a) Cho 32 số nguyên, trong đó tổng 5 số bất kì là số nguyên dương. Chứng minh tổng của 31 số dương.
b)Cho A=1…1(100 số 1); B=2..2(50 số 2). Chứng minh A-B là số chính phương
a) Cho 32 số nguyên, trong đó tổng 5 số bất kì là số nguyên dương. Chứng minh tổng của 31 số dương.
b)Cho A=1…1(100 số 1); B=2..2(50 số 2). Chứng minh A-B là số chính phương
a) trong 31 số đó có ít nhất 1 số dương( giả sử 31 số đều âm thì tổng 5 số bất kì không thể là 1 số dương)
tách số đó ra. chia 30 số còn lại thành 6 nhóm, mỗi nhóm có 5 số.
=>mỗi nhóm cót ổng là 1 số dương. cộng thêm số dương bị tách
=> tổng 31 số đó là 1 số dương(đpcm)
b)ta có:
A=1111…11=9999…99/9=10000…0-1/9=$\frac{10^{100}-1}{9}$ (100 số 1; 100 số 9; 100 số 0)
B=22222…2=2.111…1=2.$\frac{9999…9}{9}$ =2.$\frac{10^{100}-1}{9}$ (50 số 2; 50 số 1)
=> A-B=$\frac{10^{100}-1}{9}$-2.$\frac{10^{100}-1}{9}$=$\frac{10^{100}-1-2(10^{50}-1)}{9}$ =$\frac{10^{100}-1-2.10^{50}+2}{9}$ =$\frac{(10^{50})^{2}-2.10^{50}.1+1}{9}$ =$3333…3^{2}$ (50 số 3)
vậy A-B là 1 số chính phương
a) Vì tổng của 5 số bất kì là một số nguyên dương nên trong 31 số phải có ít nhất 1 số nguyên dương.
Vậy số các nguyên còn lại là: 31-1=30 (số nguyên)
Ta chia 30 số nguyên này ra thành 6 nhóm, mỗi nhóm gồm 5 số nguyên. Theo đề bài, ta có tổng của 5 số nguyên bất kì là 1 số nguyên dương, vậy tổng của 6 nhóm mà mỗi nhóm có 5 số nguyên là 1 số dương => 30 số nguyên còn lại là số dương.
b) Vì tổng của 30 số hạng là 1 số nguyên dương, mà số còn lại cũng là số nguyên dương nên tổng 31 số là số nguyên dương
Ta có A=11…11(100 số 1) ⇔A=1…10…0 + 1…1(50 số 1 vào 50 số 0) ⇔A=1….1.10^50+1….1(50 số 1) Đặt 50 lần số là a, ta có A=a.10^a+a và B=2a Vậy A-B=a.10^a-2a+a=a.10^a-a=a.(9a+1)-a=9a²+… Vậy A-B là 1 số chính phương