a) Cho n điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả 28 đường thẳng. Tìm n?
b) Cho n điểm phân biệt trong đó có 7 điểm thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. có tất cả 190 đường thẳng . Tìm n?
c) Cho 20 đường thẳng đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm tạo thành?
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a. số đường thẳng phân biệt đi qua n điểm là $\frac{n(n-1)}{2}$
=>$\frac{n(n-1)}{2}=28$ => n=8
b.số đường thẳng phân biệt đi qua n điểm là $\frac{n(n-1)}{2}$-7*6/2+1=190=>n=21
c. số giao điểm là 20C2 = 190 giao điểm
Đáp án: a) 8 điểm phân biệt
b) 22 điểm phân biệt
c) 190 giao điểm
Giải thích các bước giải:
a) Gọi số điểm cần tìm là $n$ (điểm) $(n \in\mathbb N^*)$
Ta gọi tên các điểm là $A_1,A_2,A_3,…A_n$
– Qua điểm $A_1$ và $n-1$ điểm còn lại ta vẽ được $n-1$ đường thẳng
– Qua điểm $A_2$ và $n-1$ điểm còn lại ta vẽ được $n-1$ đường thẳng
– …
– Qua điểm $A_n$ và $n-1$ điểm còn lại ta vẽ được $n-1$ đường thẳng
Do đó có $n.(n-1)$ đường thẳng
Tuy nhiên mỗi đường thẳng được tính 2 lần nên số đường thẳng được tạo thành là:
$n.(n-1):2$ (đường thẳng)
Theo bài ra:
$n.(n-1):2 = 28$
$n.(n-1) = 28.2$
$n.(n-1) = 56 = 7.8$
Vậy $n = 8$
b) Theo câu a) $n$ điểm phân biệt không có 3 điểm nào chung sẽ kẻ được
$n.(n-1):2$ đường thẳng
Nếu $7$ điểm phân biệt sẽ kẻ được $7(7-1)=42$ đường thẳng
Nếu $7$ điểm thẳng hàng sẽ kẻ được 1 đường thẳng
Như vậy n điểm phân biệt trong đó có 7 điểm thẳng hàng có số đường thẳng kẻ được bằng “số đường thẳng nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng” trừ “số đường thẳng 7 điểm không thẳng hàng” cộng “số đường thẳng 7 điểm thẳng hàng tạo thành”
Ta có:
$n(n-1):2-42+1=190$
$\Rightarrow n(n-1):2-41=190$
$\Rightarrow n(n-1):2=190+41=231$
$\Rightarrow n(n-1)=231.2=462=22.21$
Vậy $n=22$
c) Ta gọi tên các đường thẳng là $d_1,d_2,d_3,…d_n$
– Đường thẳng $d_1$ và $n-1$ đường thẳng còn lại ta có được $n-1$ giao điểm
– Đường thẳng $d_2$ và $n-1$ đường thẳng còn lại ta có được $n-1$ giao điểm
– …
– Đường thẳng $d_{n-1}$ và $n-1$ đường thẳng còn lại ta có được $n-1$ giao điểm
Do đó có $n.(n-1)$ giao điểm tuy nhiên mỗi giao điểm được tính 2 lần
Vậy có $n(n-1):2$ giao điểm
Vậy với 20 đường thẳng thì số giao điểm là:
$20(20-1):2=190$ giao điểm.