a,Cho n là số tự nhiên không chia hết cho 3 .CMR : 3^2n + 3^n + 1 chia hết cho 13
b, Cho a là nghiệm nguyên dương của phương trình : x^4 – 7x^2 + 1 =0 .Tính giá trị biểu thức : P=a^3 + 1/a3
a,Cho n là số tự nhiên không chia hết cho 3 .CMR : 3^2n + 3^n + 1 chia hết cho 13
b, Cho a là nghiệm nguyên dương của phương trình : x^4 – 7x^2 + 1 =0 .Tính giá trị biểu thức : P=a^3 + 1/a3
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) TH1 : \(n = 3k +1. \)
Ta có :
\(\begin{array}{l}
{3^{2n}} + {3^n} + 1 = {3^{2\left( {3k + 1} \right)}} + {3^{3k + 1}} + 1 = {9^{3k + 1}} + {3^{3k + 1}} + 1\\
= {729^k}.9 + {27^k}.3 + 1\\
= {729^k}.9 – 9 + {27^k}.3 – 3 + 1 + 12\\
= 9\left( {{{729}^k} – 1} \right) + 3.\left( {{{27}^k} – 1} \right) + 13
\end{array}\)
Mà \({729^k} – 1 \vdots 728 \vdots 13\) và \({27^k} – 1 \vdots 26 \vdots 13\) nên khi \(n= 3k + 1\) thì \(3^2n + 3^n + 1\vdots 13\)
Chứng minh tương tự với trường hợp \(n=3k+2\)