a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
By Eden
a) $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
$ = a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$
$ = a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$
$ = a^2.(c^2+d^2)+b^2.(c^2+d^2)$
$ = (c^2+d^2).(a^2+b^2)$
b) Ta có $(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2).(c^2+d^2)$
$⇔a^2c^2+2abcd+b^2d^2≤ a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$
$⇔ a^2d^2-2abcd+b^2c^2 ≥ 0 $
$⇔(ad-bc)^2 ≥ 0 $ ( Đúng )
Dấu “=” xảy ra $⇔ad=bc$
Giải thích các bước giải:
a.Ta có :
$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
$=a^2c^2+2ac.bd+b^2d^2+a^2d^2-2ad.bc+b^2c^2$
$=(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2)+(2abcd-2abcd)$
$=a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)$
$=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$
b.Ta có :
$(ac+bd)^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
$\leftrightarrow a^2c^2+2ac.bd+b^2d^2\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$
$\leftrightarrow a^2d^2-2ac.bd+b^2c^2\ge 0$
$\leftrightarrow a^2d^2-2ad.bc+b^2c^2\ge 0$
$\leftrightarrow (ad-bc)^2\ge 0$ luôn đúng
$\to đpcm$