a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

0 bình luận về “a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)”

1. a) $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

   $ = a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$

   $ = a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$

   $ = a^2.(c^2+d^2)+b^2.(c^2+d^2)$

   $ = (c^2+d^2).(a^2+b^2)$

   b) Ta có $(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2).(c^2+d^2)$

   $⇔a^2c^2+2abcd+b^2d^2≤ a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$

   $⇔ a^2d^2-2abcd+b^2c^2 ≥ 0 $

   $⇔(ad-bc)^2 ≥ 0 $ ( Đúng )

   Dấu “=” xảy ra $⇔ad=bc$

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   a.Ta có :
   $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ 
   $=a^2c^2+2ac.bd+b^2d^2+a^2d^2-2ad.bc+b^2c^2$

   $=(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2)+(2abcd-2abcd)$

   $=a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)$

   $=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

   b.Ta có :
   $(ac+bd)^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

   $\leftrightarrow a^2c^2+2ac.bd+b^2d^2\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

   $\leftrightarrow a^2d^2-2ac.bd+b^2c^2\ge 0$

   $\leftrightarrow a^2d^2-2ad.bc+b^2c^2\ge 0$

   $\leftrightarrow (ad-bc)^2\ge 0$ luôn đúng

   $\to đpcm$

   Bình luận