a/ chứng minh rằng:
($a^{10}$ +$b^{10}$)( $a^{2}$ + $b^{2}$ ) $\geq$ ($a^{8}$+ $b^{8}$ )($a^{4}$ +$b^{4}$)
b/
cho x,y,z $\neq$ 0 thỏa $\left \{ {{xyz=1} \atop {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} < x+y+z}} \right.$ . CMR: có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
$Làm ^{}$ $ơn ^{}$ $giúp ^{}$ $với ^{}$ $thanks ^{}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) (a^10 +b^10)(a^2+b^2) >=(a^8 +b^8)(a^4+b^4)
<–> a^12 +b^12 + a^10.b^2+ b^10.a^2 >= a^12 + b^12 + a^8.b^4+a^4.b^8
<–> a^10.b^2 + b^10.a^2 >= a^8.b^4 +a^4.b^8
<–> a^2.b^2( a^8 +b^8 – a^6.b^2-a^2.b^6)>=0
<–> a^2.b^2 (a^2-b^2)(a^6-b^6) >=0
<–> a^2.b^2 (a^2-b^2)(a^2-b^2)(a^4+a^2.b^2+b^4)>=0
<–> a^2.b^2 (a^2-b^2)^2 (a^4 + a^2.b^2 +b^4) >=0 (luôn đúng)
Giải thích các bước giải:
a.
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left( {{a^{10}} + {b^{10}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) – \left( {{a^8} + {b^8}} \right)\left( {{a^4} + {b^4}} \right)\\
= {a^{12}} + {a^{10}}{b^2} + {b^{10}}{a^2} + {b^{12}} – {a^{12}} – {a^8}{b^4} – {b^8}{a^4} – {b^{12}}\\
= {a^{10}}{b^2} + {b^{10}}{a^2} – {a^8}{b^4} – {b^8}{a^4}\\
= {a^8}{b^2}\left( {{a^2} – {b^2}} \right) + {b^8}{a^2}\left( {{b^2} – {a^2}} \right)\\
= \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\left( {{a^8}{b^2} – {b^8}{a^2}} \right)\\
= {a^2}{b^2}\left( {{a^2} – {b^2}} \right)\left( {{a^6} – {b^6}} \right)\\
= {a^2}{b^2}{\left( {{a^2} – {b^2}} \right)^2}\left( {{a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4}} \right) \ge 0\\
\Rightarrow \left( {{a^{10}} + {b^{10}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge \left( {{a^8} + {b^8}} \right)\left( {{a^4} + {b^4}} \right)
\end{array}\]