a, Chứng minh với n ∈ N* luôn có:
$\frac{1}{(n+1)\sqrt[]{n} + n\sqrt[]{n+1}}$ = $\frac{1}{\sqrt[]{n}}$ – $\frac{1}{\sqrt[]{n}+1}$
b, Dựa vào phần a, tính tổng
A = $\frac{1}{2+\sqrt[]{2}}$ + $\frac{1}{3\sqrt[]{2}+2\sqrt[]{3}}$ + $\frac{1}{4\sqrt[]{3}+3\sqrt[]{4}}$ + … + $\frac{1}{100\sqrt[]{99}+99\sqrt[]{100}}$
Giải thích các bước giải:
a,
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n + n.\sqrt {n + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt n .\sqrt {n + 1} \left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt {n + 1} – \sqrt n }}{{\sqrt n .\sqrt {n + 1} \left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt {n + 1} – \sqrt n }}{{\sqrt n .\sqrt {n + 1} .\left[ {\left( {n + 1} \right) – n} \right]}}\\
= \dfrac{{\sqrt {n + 1} – \sqrt n }}{{\sqrt n .\sqrt {n + 1} }}\\
= \dfrac{{\sqrt {n + 1} }}{{\sqrt n .\sqrt {n + 1} }} – \dfrac{{\sqrt n }}{{\sqrt n .\sqrt {n + 1} }}\\
= \dfrac{1}{{\sqrt n }} – \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}
\end{array}\)
b,
Sử dụng công thức của phần a ta có:
\(\begin{array}{l}
A = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{100\sqrt {99} + 99\sqrt {100} }}\\
= \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 + 3\sqrt 4 }} + …. + \dfrac{1}{{100\sqrt {99} + 99\sqrt {100} }}\\
= \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 4 }}} \right) + ….. + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {99} }} – \dfrac{1}{{\sqrt {100} }}} \right)\\
= \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} – \dfrac{1}{{\sqrt {100} }}\\
= 1 – \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{9}{{10}}
\end{array}\)