a) Chứng tỏ mọi phân số dạng 18n+7/12n+5(n thuộc N) đều là phân số tối giản
b)Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất M=5n-11/3n-11
a) Chứng tỏ mọi phân số dạng 18n+7/12n+5(n thuộc N) đều là phân số tối giản
b)Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất M=5n-11/3n-11
$a$) Đặt $d$=`ƯCLNNNN(18n+7;12n+5)`
`⇒` $\left\{\begin{matrix}18n+7 \vdots d& \\12n+5 \vdots d& \end{matrix}\right.$
`⇒` `3(12n+5) – 2(18n+7) \vdots d`
`⇔ 36n + 15 – 36n – 14 \vdots d`
`⇔ 1 \vdots d`
`⇒` `d` `∈` `{±1}`
`⇒ d=1` vì $d$ lớn nhất
Vậy $\dfrac{18n+7}{12n+5}$ là phân số tối giản($đpcm$)
$b$) Ta có : $M = \dfrac{5n-11}{3n-11}$
$⇒ 3M= \dfrac{15n – 33}{3n – 11} = \dfrac{15n – 55 + 22}{3n-11} = \dfrac{5.(3n-11) + 22}{3n-11}= 5 + \dfrac{22}{3n-11}$
Để $M$ nhỏ nhất thì $\dfrac{22}{3n-11}$ nhỏ nhất
$⇒ 3n-11$ lớn nhất
$⇒ 3n-11$ nguyên âm, lớn nhất
Mà $3n-11$ chia $3$ dư $-2$ và $1$
$⇒ 3n-11= -2 ⇔ n = 3$. Khi đó:
$3M = 5 + \dfrac{22}{-2} = 5 -11 = -6 ⇔ M = -2$
Vậy $GTNN$ của $M$ = $-2$ khi $n=3$