A = x $\frac{x}{x+1 }$ – $\frac{3-3x}{x^2-x+1}$ + $\frac{x+4}{x^3+1}$ a) Tìm điều kiện xác định b) Rút gọn c) C/m rằng giá trị của A luôn dương với m

Đáp án:

b. \(\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a.DK:x \ne  – 1\\
A = \dfrac{x}{{x + 1}} – \dfrac{{3 – 3x}}{{{x^2} – x + 1}} + \dfrac{{x + 4}}{{{x^3} + 1}}\\
 = \dfrac{{x\left( {{x^2} – x + 1} \right) – \left( {3 – 3x} \right)\left( {x + 1} \right) + x + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{{x^3} – {x^2} + x – 3x – 3 + 3{x^2} + 3x + x + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}\\
c.A = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\forall x \ne  – 1\\
{x^2} – x + 1 = {x^2} – 2x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\forall x \ne  – 1
\end{array} \right.\\
 \to A > 0\forall x \ne  – 1
\end{array}\)