a)giải phương trình $x^{2}$ – 10x + 27 = $\sqrt{6-x}$ + $\sqrt{x-4}$
b)Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức : $(x+y)^{3}$ = xy(3x + 3y +2)
CMR : $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ
giúp em với
a)giải phương trình $x^{2}$ – 10x + 27 = $\sqrt{6-x}$ + $\sqrt{x-4}$
b)Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức : $(x+y)^{3}$ = xy(3x + 3y +2)
CMR : $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỉ
giúp em với
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Điều kiện $: 6 – x ≥ 0; x – 4 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ x ≤ 6$
Đặt $: t = x² – 10x + 27 = \sqrt[]{6 – x} + \sqrt[]{x – 4} > 0$
$ ⇔ t² = (6 – x) + (x – 4) + 2\sqrt[]{6 – x}.\sqrt[]{x – 4} $
$ = 2 + 2\sqrt[]{- x² + 10x – 24} = 2 + 2\sqrt[]{3 – t}$
$ ⇔ t² – 2 = 2\sqrt[]{3 – t} ⇒ t^{4} – 4t² + 4 = 4(3 – t)$
$ ⇔ t^{4} – 4t² + 4t – 8 = 0 ⇔ (t – 2)(t³ + 2t² + 4) = 0$
$ ⇔ t – 2 = 0 ⇔ t = 2 $ (vì $t > 0)$
$ ⇔ x² – 10x + 27 = 2 ⇔ (x – 5)² = 0$
$ ⇔ x = 5 (TM)$ là nghiệm duy nhất của $PT$
b)$(x + y)³ = xy(3x + 3y + 2) (1)$
$ ⇔ (x + y)(x + y)² = xy(3x + 3y + 2)$
$⇔(x + y)[(x – y)² + 4xy] = 2xy + 3xy(x + y)$
$ ⇔ (x + y)(x – y)² = xy[2 – (x + y)] (2)$
Lấy $(2):(1) ⇒ (\frac{x – y}{x + y})² = \frac{2 – (x + y)}{3x + 3y + 2} (3)$
Mặt khác đặt $ u = x + y; v = \sqrt[]{1 – xy} ≥ 0 ⇒ xy = 1 – v²$
Thay vào$(1) : u³ = (1 – v²)(3u + 2) ⇔ 1 – v² = \frac{u³}{3u + 2}$
$ ⇔ v² = 1 – \frac{u³}{3u + 2} = \frac{3u + 2 – u³}{3u + 2} = \frac{(u + 1)²(2 – u)}{3u + 2} $
$ = (x + y + 1)².\frac{2 – (x + y)}{3x + 3y + 2} = (x + y + 1)²(\frac{x – y}{x + y})²$ ( thay $(3)$ vào)
$⇔\sqrt[]{1 – xy} = |x + y + 1|.|\frac{x – y}{x + y}|$ là số hữu tỷ vì $x, y$ hữu tỷ (đpcm)
………………………………..
Câu a) còn cách đơn giản hơn:
Điều kiện $: 6 – x ≥ 0; x – 4 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ x ≤ 6$
$ VT = x² – 10x + 27 = (x – 5)² + 2 ≥ 2$
Áp dụng BĐT $: a + b ≤ \sqrt[]{2(a² + b²)}$ cho vế phải :
$ VP = \sqrt[]{6 – x} + \sqrt[]{x – 4} ≤ \sqrt[]{2[(6 – x) – (x – 4)]} = 2$
$ ⇒ VT ≥ 2 ≥ VP ⇒ VT = VP = 2 $ thỏa mãn:
$ ⇔ (x – 5)² + 2 = 2 ⇔ (x – 5)² = 0$
$ ⇔ x = 5 (TM)$ là nghiệm duy nhất của $PT$