a) tìm m , n nguyên dương tm m ² = √n + √ (2n+1)
b) cho 2 số m, n nguyên dương và số nguyên tố p sao cho p = (m+n)/2 + 3 √mn . chứng minh p+4m và p+4n là các số chính phương
Mong mọi người giúp đỡ nhiệt tình, cách giải rõ ràng , dễ hiểu giúp e với ạ , cảm ơn mn
b) Ta có
$p + 4m = \dfrac{1}{2} (m+n) + 3\sqrt{mn} + 4m = \dfrac{9}{2} m + 3\sqrt{mn} + \dfrac{1}{2}n = (\dfrac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{m})^2 + (\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{n})^2 + 2. \dfrac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{m} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{n}$
$= (\dfrac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{m} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{n})^2$
Do p + 4m là số nguyên nên hiển nhiên rằng $\dfrac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{m} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{n}$ cũng là một số nguyên. Do đó $p + 4m$ là một số chính phương.
Tương tự, ta cx có
$p + 4n = (\dfrac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{n} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{m})^2$
Vậy $p + 4n$ cũng là một số chính phương.