Ai giải giùm em với ạ! Tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của phương trình y = (sin^2(2x) + 3sin4x)/(2cos^2(2x) – sin4x + 2)

Đáp án:

$\min y = \dfrac{5 – 2\sqrt{22}}{7};\, \max y = \dfrac{5 + 2\sqrt{22}}{7}$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{\sin^22x + 3\sin4x}{2\cos^22x – \sin4x + 2}$

$\Leftrightarrow y = \dfrac{\dfrac{1 – \cos4x}{2} + 3\sin4x}{1 + \cos4x – \sin4x + 2}$

$\Leftrightarrow y = \dfrac{6\sin4x – \cos4x + 1}{2\cos4x – 2\sin4x + 6}$

$\Leftrightarrow 2y\cos4x – 2y\sin4x + 6y = 6\sin4x – \cos4x + 1$

$\Leftrightarrow (6 + 2y)\sin4x – (1 + 2y)\cos4x = 6y – 1$

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow (6+ 2y)^2 + (1 + 2y)^2 \geq (6y -1)^2$

$\Leftrightarrow 7y^2 – 10y – 9 \leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{5 – 2\sqrt{22}}{7} \leq y \leq \dfrac{5 + 2\sqrt{22}}{7}$

Vậy $\min y = \dfrac{5 – 2\sqrt{22}}{7};\, \max y = \dfrac{5 + 2\sqrt{22}}{7}$