Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, chứng minh các bất đẳng thức sau với a,b là hai số dương:
a) ab + ba ≥ 2 ; b) 1a + 1b ≥ 4a+b.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, chứng minh các bất đẳng thức sau với a,b là hai số dương:
a) ab + ba ≥ 2 ; b) 1a + 1b ≥ 4a+b.
Đáp án:
a, `a/b+b/a>=2`
b, `1/a+1/b>=4/(a+b)`
Giải thích các bước giải:
a, Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
`a/b+b/a>=2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\sqrt{1}=2` (đpcm)`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b`
b, Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
`(a+b)(1/a+1/b)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1+1>=2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2=2+2=4`
`=>1/a+1/b>=\frac{4}{a+b}`
Đẳng thức xảy ra khi `a=b`
a) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}} = 2$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b$
b) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{ab}}$
$a+b ≥ 2\sqrt[]{ab}$
Nên $\bigg(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\bigg).(a+b) ≥ 4$
$\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} ≥ \dfrac{4}{a+b}$