Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của 1 cấp số cộn

Giải thích các bước giải:

 Gọi số hạng đầu của cấp số cộng đó là \({u_1}\) và công sai là \(d\)

Theo giả thiết ta có 3 số đã cho là \(\left\{ \begin{array}{l}
a = {u_2} = {u_1} + d\\
b = {u_9} = {u_1} + 8d\\
c = {u_{44}} = {u_1} + 43d
\end{array} \right.\)

Tổng của 3 số bằng 217 và 3 số là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 217\\
{b^2} = ac
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + d + {u_1} + 8d + {u_1} + 43d = 217\\
{\left( {{u_1} + 8d} \right)^2} = \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 43d} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{u_1} + 52d = 217\\
{u_1}^2 + 16{u_1}d + 64{d^2} = {u_1}^2 + 44{u_1}d + 43{d^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{u_1} + 52d = 217\\
21{d^2} = 28{u_1}d
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
d = 4
\end{array} \right.
\end{array}\)

Tổng của n số hạng đầu trong CSC bằng 820 nên ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} + …. + {u_n} = 820\\
 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) + …. + \left[ {{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right] = 820\\
 \Leftrightarrow n.{u_1} + d\left( {1 + 2 + 3 + …. + \left( {n – 1} \right)} \right) = 820\\
 \Leftrightarrow 3n + 4.\frac{{\left( {n – 1} \right).n}}{2} = 820\\
 \Leftrightarrow 3n + 2n\left( {n – 1} \right) – 820 = 0\\
 \Leftrightarrow 2{n^2} + n – 820 = 0\\
 \Leftrightarrow n = 20
\end{array}\)