Bài 1. Hình khai triển của một hình nón là một hình quạt tròn có số đo cung là ; bán kính hình quạt là 8 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 2. Tam giác OMN vuông tại O có OM = 12 cm; ON = 5 cm. Quay tam giác OMN quanh cạnh OM. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón tạo thành.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B = Quay tam giác vuông quanh AB tạo thành hình nón. Tính diện tích xung quanh, thể tích của hình nón tạo thành và số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.
Bài 4. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt biết đường sinh là 14 và hiệu hai bán kính bằng 2, tích hai bán kính bằng 24.
Câu 1:
Diện tích xung quanh hình nón là diện tích quạt:
$S_{xq}=\dfrac{8^2\pi.120}{360}=\dfrac{64\pi}{3}(cm^2)$
Câu 2:
Hình nón có bán kính đáy $r=ON=5cm$, chiều cao $h=OM=12cm$
$\to l=\sqrt{r^2+h^2}=13cm$
$S_{xq}=r\pi.l=5\pi.13=65\pi (cm^2)$
$V=\dfrac{1}{3}r^2\pi.h=\dfrac{1}{3}.5^2\pi.12=100\pi (cm^3)$
Câu 3:
Hình nón có $l=BC=12cm$
Bán kính đáy: $r=AC=BC\sin B=6(cm)$
Đường cao: $h=AB=BC\cos B=6\sqrt3(cm)$
$S_{xq}=r\pi.l=72\pi(cm^2)$
$V=\dfrac{1}{3}r^2\pi.h=72\pi\sqrt3(cm^3)$
Diện tích hình quạt khai triển bằng diện tích xung quanh hình nón: $S=72\pi(cm^2)$
Bán kính quạt bằng độ dài đường sinh: $R=12(cm)$
Gọi $n$ là số đo cung hình quạt.
$\dfrac{R^2\pi.n}{360}=S$
$\to \dfrac{12^2\pi.n}{360}=72\pi$
$\to n=180^o$
Câu 4:
$r_1.r_2=24$
$r_1-r_2=2\Leftrightarrow r_1=r_2+2$
$\Leftrightarrow r_2(r_2+2)=24$
$\Leftrightarrow r_2^2+2r_2-24=0$
$\Leftrightarrow r_2=4\to r_1=6$
$S_{xq}=\pi.(r_1+r_2).l=140\pi(cm^2)$
Chiều cao nón cụt:
$h=\sqrt{l^2-(r_1-r_2)^2}=8\sqrt3$
$\to V=\dfrac{1}{3}\pi.(r_1^2+r_2^2+r_1r_2).h=\dfrac{608\pi\sqrt3}{3}(cm^3)$
Bài 2:
$\triangle OMN$ vuông tại $O$ nên $MN = \sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13cm$
Hình nón tạo thành có $r=ON=5cm$ ; $l=MN=13cm$ và $h=OM=12cm$
(Áp dụng công thức)
Bài 4: Gọi $r_1$ và $r_2$ lần lượt là hai bán kính của hình nón cụt ($r_1>r_2>0$)
Ta có: $r_1-r_2=2⇔r_1=2+r_2$
Lại có $r_1.r_2=24$ (*). Thế $r_1=2+r_2$ vào (*) ta được:
$(2+r_2)r_2=24⇔r_2^2+2r_2-24=0$. Giải phương trình này ta được
$r_2=4$ (nhận) hay $r_2=-6$ (loại)
Suy ra: $r_1=2+r_2=2+4=6$
$S_{xq}=\pi (r_1+r_2)l=…$
$h=\sqrt{l^2-(r_1-r_2)^2}=\sqrt{14^2-(6-4)^2}=8\sqrt{3}$
$V=…$