Bài 1:Tìm GTNN của biểu thức
A=x^6-2x^3+x^2-2x+2
B=x^4-6x^3+10x^2-6x+19
Bài 2:Tìm x,y biết
a)5x^2+5y^2+8xy-2x+2Y+2=0
b)y^2+2y+4^2-2^x+1+2=0
Bài 1:Tìm GTNN của biểu thức A=x^6-2x^3+x^2-2x+2 B=x^4-6x^3+10x^2-6x+19 Bài 2:Tìm x,y biết a)5x^2+5y^2+8xy-2x+2Y+2=0 b)y^2+2y+4^2-2^x+1+2=0
By Quinn
Bài 1:Tìm GTNN của biểu thức
A=x^6-2x^3+x^2-2x+2
⇔A= (x³)² – 2x² + 1 + x² – 2x + 1
⇔A= [(x³)² – 2x² + 1] + (x² – 2x + 1)
⇔A=(x³-1)² + (x-1)²
Vì (x³-1)² ≥ 0 và (x-1)² ≥ 0 ⇒ A=(x³-1)² + (x-1)² ≥0
Dấu “=” xảy ra khi $\left \{ {{(x^3-1)^3=0} \atop {(x-1)^2=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x^3-1=0} \atop {x-1=0}} \right.$
⇔$\left \{ {{x=1} \atop {1}} \right.$
⇒ x = 1
Vậy min A = 0 khi x = 1
B=x^4-6x^3+10x^2-6x+19
⇔ B = (x²)² – 6x³ + 9x² + x² – 6x + 9+ 10
⇔ B = (x²)² – 6x³ + 9x² + x² – 6x + 9+ 10
⇔B= [(x²)² – 6x³ + 9x²] + (x² – 6x + 9)+ 10
⇔B= (x²-3x)² + (x-3)² + 10
Vì (x²-3x)² ≥ 0 và (x-3)² ≥ 0 ⇒ B= (x²-3x)² + (x-3)² + 10 ≥ 10
Dấu “=” xảy ra khi $\left \{ {{(x^2-3x)^2=0} \atop {(x-3)^2=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x^2-3x=0} \atop {x-3=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x(x-3)=0} \atop {x-3=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=3\end{array} \right.} \atop {x=3}} \right.$
Vậy min của B = 10 kho x = 0 hoặc x = 3
Bài 2:Tìm x,y biết
a)5x^2+5y^2+8xy-2x+2Y+2=0
⇔ (4x² + 8xy + 4y²) + (y² + 2y + 1) + (x² – 2x + 1) = 0
⇔ (2x + 2y)² + (y+1)² + (x-1)² = 0
Vì (2x+2y)² ≥ 0 ; (y+1)²≥0 ; (x-1)²≥0
mà (2x + 2y)² + (y+1)² + (x-1)² = 0
⇒ $\left \{{(2x+2y)^2=0} \atop {{(y+1)^2=0} \atop {(x-1)^2=0}} \right.$
⇔ $\left \{ 2x+2y=0 \atop {{y+1=0} \atop {x-1=0}} \right.$
⇔ $\left \{ 2x+2y=0\atop {{y=-1} \atop {x=1}} \right.$
Vậy (x;y)={(1;-1)}
b)y^2+2y+4^2-2^x+1+2=0
(phần này đề có bị sai hk ạ? )
Đáp án:
$\begin{array}{l}
1)A = {x^6} – 2{x^3} + {x^2} – 2x + 2\\
= {x^6} – 2{x^3} + 1 + {x^2} – 2x + 1\\
= {\left( {{x^3} – 1} \right)^2} + {\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\\
\Rightarrow GTNN:A = 0\,khi:x = 1\\
B = {x^4} – 6{x^3} + 10{x^2} – 6x + 19\\
= {x^4} – 6{x^3} + 9{x^2} + {x^2} – 6x + 9 + 10\\
= {x^2}\left( {{x^2} – 6x + 9} \right) + {x^2} – 6x + 9 + 10\\
= {x^2}{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {x – 3} \right)^2} + 10 \ge 10\\
\Rightarrow GTNN:B = 10\,khi:x = 3\\
B2)\\
a)5{x^2} + 5{y^2} + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0\\
\Rightarrow 4{x^2} + 8xy + 4{y^2} + {x^2} – 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 = 0\\
\Rightarrow 4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\\
\Rightarrow 4{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
x – 1 = 0\\
y + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.\\
b){y^2} + 2y + 4{x^2} – 2x + 1 + 2 = 0\\
\Rightarrow \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 4.\left( {{x^2} – \dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4}} \right) + 1 = 0\\
\Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} + 4.{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + 1 = 0\\
Do:{\left( {y + 1} \right)^2} + 4.{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\\
\Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} + 4.{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0
\end{array}$
Vậy pt vô nghiệm.