Bài 1: Trong một cuộc họp có a người tham gia. Mỗi người đều bắt tay với tất cả những người còn lại trừ bạn A, A chỉ bắt tay với một số người trong những người còn lại. Người ta đếm thấy có tất cả 115 cái bắt tay. Hỏi có bao nhiêu người tham dự cuộc họp và A bắt tay với bao nhiêu người?
Bài 2: Có 34 đội bóng đá thi đấu với nhau. Cách chia bảng bất kỳ, có thể có đặt cách cho những đội lẻ ra. Mỗi trận đấu, đội thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Hỏi tổng số điểm tất cả các trận đấu có thể bằng 173 điểm được hay không?
Bài 1: Phân tích và giải:
a) Ta có số trận đấu của giải đấu là: 6 x 5 : 2 = 15 trận
Vì không có trận nào kết thúc với kết quả hòa nên mỗi trận đấu đều có tổng điểm của hai đội tham dự là: 3 + 0 = 3 điểm
=> Tổng số điểm của tất cả các đội tham dự là: 15 x 3 = 45 (điểm)
b) Theo câu a) ta thấy nếu tất cả các trận đều không hòa thì tổng số điểm là 45, nhưng do đề bài ở câu b) tổng số điểm của tất cả các đội chỉ là 31 => chắc chắn có 1 số trận kết thúc với kết quả hòa.
Ta nhận thấy: Một trận đấu kết thúc với kết quả thắng – thua sẽ đem lại tổng điểm cho hai đội tham gia là: 3 + 0 = 3 điểm. Còn 1 trận đấu kết thúc với kết quả hòa sẽ đem lại cho hai đội tham gia: 1 + 1 = 2 điểm.
Như vậy nếu thay 1 trận thắng bởi 1 trận hòa thì số điểm giảm đi là: 3 – 2 = 1 điểm
Để giảm từ 45 điểm xuống 31 điểm thì số trận hòa là: (45 – 31) : 1 = 14 (trận)
=> Còn lại số trận thắng – thua là: 15 – 14 = 1 (trận)
Vậy nếu tổng số điểm của các đội tham gia là 31 điểm thì giải đấu có 14 trận hòa và chỉ có 1 trận thắng – thua => Đội vô địch phải là đội thắng trận đấu đó.
Mỗi đội đều đấu: 6 – 1 = 5 trận => Đội vô địch thắng 1 và hòa 5 – 1= 4 trận
=> Số điểm của đội vô địch là: 1 x 3 + 4 x 1 = 7 điểm.