Bài 10: Cho tam giác ABC có góc A = 90 °; AB < AC ,đường cao AH lấy điểm K thuộc HC sao cho BH = HK a)Tam giác ABK là tam giác gì? b)Trên tia AH lấy điểm I sao cho HA = HI .CMR: IK //AB và BIC = 90 c)Gọi M là trung điểm của AH,N là trung điểm BH.CMR:CM vuông góc AN
Bạn tự vẽ hình nhé!
a, Xét ΔABK có AH vừa là đường cao vừa là đường tủng tuyến
=> ΔABK cân tại A
b, xét ΔBHA và ΔKHI có
BH= HK
∠BHA= ∠KHI (2 góc đối đỉnh)
AH= HI
=> ΔBHA = ΔKHI (c.g.c)
=> ∠BAH = ∠HIK
Mà chúng ở vị trí so le trong do AI cắt AB, IK
=> IK// AB
Xét tứ giác ABIK có AB// IK, AB= IK (vì ΔBHA = ΔKHI )
=> ABIK là hình bình hành
Xét hình bình hành ABIK có AB= AK (ΔABK cân tại A)
=> ABIK là hình thoi
Xét hình thoi ABIK có BK là đường chéo
=> BK là đường phân giác ∠ABI
=> ∠ABC= ∠CBI
Xét ΔABC và ΔIBC có
AB= BI (vì ABIK là hình thoi)
∠ABC= ∠CBI
Chung BC
=> ΔABC= ΔIBC (c.g.c)
=> ∠BAC= ∠BIC
=> ∠BIC= 90 độ
c, Xét ΔAHB có M,N lần lượt là trung điểm AH, BH
=> MN là đường trung bình ΔAHB
=> MN// AB
Có AB ⊥ AC
=> MN ⊥ AC
Xét ΔANC có M là giao của 2 đường cao NM và AH
=> M là trực tâm ΔANC
=> CM là đường cao ΔANC
=> CM ⊥ AN
Chúc bạn học tốt ~
a) AH⊥BK
BH=HK
⇔ AH là đường trưng trực BK
⇔ AB=AK (t/c đường trung trực)
⇔ ΔABK cân tại A
b) Xét ΔAHK và ΔIHB:
$\widehat{BHI}$ $=$ $\widehat{KHA}$ (đối đỉnh)
BH=HK(gt)
AH=HI(gt)
⇒ ΔAHK = ΔIHB (c-g-c)
⇒ $\widehat{HKA}$ $=$ $\widehat{HBI} mà hai góc ở vị trí so le trong
⇒ BI//AK
Xét ΔIAB: BH⊥AI, AH=HI
⇔ BH là trung trực IA
⇔ BA=BI hay ΔIAB cân tại B mà BH là trung trực
⇔ BH là phân giác $\widehat{B}
Xét ΔABC và ΔIBC
BA=BI (cmt)
BC chung
$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{IBC}$ (BC là phân giác $\widehat{B}$)
⇒ ΔABC=ΔIBC (c-g-c)
⇒ $\widehat{BAC}$ $=$ $\widehat{BIC}$ $=$ $90^o$
c) M là trung điểm AH
N là trung điểm BH
⇒ MN là trường trung bình ΔBHA
⇒ MN // AB mà AB⊥AC
⇒ MN⊥AC
Xét ΔNAC:
MN là đường cao AC
AH là đường cao NC mà MN × AH ≡ M
⇒ M là trực tâm ΔNAC
⇒ CM là đường cao NA
⇒ CM⊥NA