Bài 12, Cho đường thẳng (d) có phương trình 2(m-1)x+(m-2)y=2
c) Tim m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Bài 12, Cho đường thẳng (d) có phương trình 2(m-1)x+(m-2)y=2
c) Tim m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Đáp án:
`m=6/5`
Giải thích các bước giải:
`d(0;(d))=2/{sqrt[4(m-1)^2+(m-2)^2]}` `max`
Khi và chỉ khi `:` `sqrt[4(m-1)^2+(m-2)^2]` `min`
`⇔` `4(m^2-2m+1)+m^2-4m+4` `min`
`⇔` `(5m^2-12m+8)` `min`
`⇔` `m=6/5`
Vậy `m=6/5` thì `(d)` cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Giao điểm của (d) với trục tung là: y = $\frac{2}{m-2}$ ⇒ A (0;$\frac{2}{m-2}$)
Giao điểm của (d) với trục hoành là: x = $\frac{1}{m-1}$ ⇒ B ($\frac{1}{m-1}$;0)
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O (góc tọa độ) đến đường thằng (d)
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$
$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{1}{(\frac{2}{m-2})^{2}}$ + $\frac{1}{(\frac{1}{m-1})^{2}}$
$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{(m-2)^{2}}{4}$ + $(m-1)^{2}$
$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{m^{2}-4m+4}{4}$ + $\frac{4m^{2}-8m+4}{4}$
$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{5m^{2}-12m+8}{4}$
⇒ $OH^{2}$ = $\frac{4}{5m^{2}-12m+8}$
|OH| = $\sqrt[]{\frac{4}{5m^{2}-12m+8}}$ = $\frac{2}{\sqrt[]{5m^{2}-12m+8}}$
|OH| = $\frac{2}{\sqrt[]{5(m^{2}-\frac{12m}{5}+\frac{8}{5}}}$ = $\frac{2}{\sqrt[]{5(m^{2}-2m.\frac{6}{5}}+\frac{16}{25}+\frac{4}{25})}$
|OH| = $\frac{2}{\sqrt[]{5(m^{2}-\frac{6}{5})^{2}+\frac{4}{5}}}$ $\leq$ $\frac{2}{\sqrt[]{\frac{4}{5}}}$ = $\frac{2}{{\frac{2}{\sqrt[]{5}}}}$ = $\sqrt[]{5}$
Dấu “=” xảy ra khi m = $\frac{6}{5}$
Vậy khoảng cách lớn nhất từ (d) đến gốc tọa độ là $\sqrt[]{5}$ khi m = $\frac{6}{5}$