Bài 2. (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một đơn hàng, nếu hai tổ cùng làm thì sau 15 ngày
sẽ xong. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được 6 ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển
công tác khác, do đó tổ II làm một mình 24 ngày nữa thì hoàn thành đơn hàng. Hỏi
nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong trong bao nhiêu ngày?
Gọi:
$a$ là số ngày tổ $I$ hoàn thành công việc
$b$ là số ngày tổ $II$ hoàn thành công việc
$\left( \,a,b\,\,\in \,\,\mathbb{N}^*\, \right)$
Suy ra:
Một ngày tổ $I$ sẽ làm được $\dfrac{1}{a}$ công việc
Một ngày tổ $II$ sẽ làm được $\dfrac{1}{b}$ công việc
$\bullet \,\,\,\,\,$Cả hai tổ cùng làm thì sau $15$ ngày là hoàn thành
Nên ta có phương trình thứ nhất:
$\,\,\,\,\,\,\,15\left( \dfrac{1}{a}\,+\,\dfrac{1}{b} \right)=1$
$\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{15}$
$\to \dfrac{30}{a}+\dfrac{30}{b}=2$
$\bullet \,\,\,\,\,$Cả hai tổ làm trong $6$ ngày và tổ $II$ làm một mình làm trong $24$ ngày là hoàn thành
Nên ta có phương trình thứ hai:
$\,\,\,\,\,\,\,6\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)\,\,+\,\,24.\dfrac{1}{b}=1$
$\to \dfrac{6}{a}+\dfrac{30}{b}=1$
Như vậy, ta có một hệ phương trình:
$\begin{cases}\dfrac{30}{a}+\dfrac{30}{b}=2\\\dfrac{6}{a}+\dfrac{30}{b}=1\end{cases}$
Đặt:
$\begin{cases}x=\dfrac{1}{a}\\y=\dfrac{1}{b}\end{cases}$
Hệ phương trình trở thành:
$\,\,\,\,\,\,\,\begin{cases}30x+30y=2\\6x+30y=1\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}24x=1\\30y=2-30x\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{1}{24}\\y=\dfrac{1}{40}\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{24}\\\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{40}\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}a=24\\b=40\end{cases}$ ( nhận )
Kết luận:
Tổ $I$ làm một mình trong $24$ ngày thì hoàn thành
Tổ $II$ làm một mình trong $40$ ngày thì hoàn thành