Bài 3 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), kẻ CK vuông góc với
AB (K thuộc AB). I là giao điểm của Bx và AC
a) Chứng minh AH = AK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là trung trực của HK
c) Kẻ Bx vuông góc với AB tại B, gọi E là giao điểm của Bx với AC. Chứng minh BC là phân giác của HBE
d) So sánh CH với CE
Đáp án:
bạn tự vẽ hình nhé
a)Xét ΔAKC và ΔAHB có:
AB=AC(ΔABC cân)
∠AKC=∠AHB=90
∠A chung
⇒ΔAKC=ΔAHB(cạnh huyền góc nhọn)
⇒AH=AK
b)ΔKIB và ΔHBC có:
∠IKH=∠IHC=90
∠KIB=∠HIC( 2 góc đối đỉnh0
KB=HC(AB-AK=AC-AH)
⇒IB=IC⇒ΔIBC cân ở I⇒∠IBC=∠ICB mà ∠ABC=∠ACB⇒∠ABI=∠ACI
XÉT ΔABI VÀ ΔACI có
AB=AC
AI chung
∠ABI=∠ACI
⇒∠BAI=∠CAI⇒ AI là pg ∠A(1)
Xét ΔAKF và ΔAHF(F là giao điểm của AI và KH)
AK=AH
∠KAF=∠HAF( Vì AI là pg ∠A0
AI chung
⇒KF=HF
MÀ ∠AFK=∠AFH mà chúng là 2 góc kề bù ⇒∠AFK=∠AFH=90(2)
Từ (1),(2)⇒đpcm
c)ta thấy AB⊥Bx(gt), KC⊥AB⇒KC║BE⇒∠KCB=∠CBE(so le trong)(3)
MÀ ΔIBC cân ở I (cm trên)⇒∠IBC=∠ICB (4)
Từ(3),(4)⇒∠IBC=∠CBE⇒ BC là pg ∠HBE
d)Kẻ CJ⊥BE⇒ΔKAC⇒ΔJCB(ch-gn)⇒KB=CJ lại có HC=KB⇒CJ=HC(5)
ta thấy ΔCJE có J=90 mà trong Δ vuông canh huyền là cạnh LỚN NHẤT ⇒CE LÀ cạnh LỚN NHẤT(6)
Từ (5) và (6)⇒CE>CH